Prøver å vise at $\lim\limits_{x\to c}f(x)g(x) = \lim\limits_{x\to c}f(x) \cdot \lim\limits_{x\to c}g(x)$, men det stopper litt opp.
Mitt forsøk:
La $\lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ og $\lim\limits_{x\to c}g(x) = M$ være eksisterende grenser.
Ved $\epsilon, \delta$ vil dette si at
- gitt en $\epsilon_1 > 0$ kan vi finne en $\delta_1 > 0 \quad : \quad |x-c|< \delta_1 \quad \Rightarrow \quad |f(x)-L|< \epsilon_1$
- gitt en $\epsilon_2 > 0$ kan vi finne en $\delta_2 > 0 \quad : \quad |x-c|< \delta_2 \quad \Rightarrow \quad |g(x)-M|< \epsilon_2$
La nå $\epsilon_1 = \epsilon_2 = \sqrt{\epsilon}$, og la $\delta =\min\{ \delta1, \delta2 \}$. Da får vi at gitt en $\epsilon > 0$ kan vi finne en $\delta > 0 \quad : \quad |x-c|< \delta \quad \Rightarrow \quad \left[|f(x)-L|< \sqrt\epsilon \ \wedge \ |g(x) - M| < \sqrt\epsilon \right]$.
Ved å gange sammen ulikhetene får vi $|f(x)-L||g(x)-M| < \epsilon$, og her kjører jeg meg fast.
Jeg finner ikke en omskriving som gir mening videre. Kan benytte at produktet av absoluttverdier er absoluttverdien av produktet, og få $|(f(x)g(x))^2 - Mf(x) - Lg(x)|$, men det ser ikke ut som noe som leder frem. Er dette en bomtur, eller fins det et kløktig steg videre?