Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2$

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2$

Innlegg Aleks855 » 05/04-2019 23:22

Satt og kikka litt gjennom en R2-bok jeg har liggende, og la merke til (enda) et hull i bevisføringa til boka.

Vi opplyses om at $\sin(\frac\pi2 - \theta) = \cos(\theta)$ og vice versa (som jeg har oppdaget kalles "kofunksjon-identiteter"), og det føres et lite bevis som bruker en rettvinklet trekant. Og det er jo et fint bevis, men problemet er at vi nå kun har bevist det for $\theta \in [0, \pi/2]$.

Det står videre at dette KAN bevises for alle $\theta$ ved å bruke enhetssirkelen, men jeg kommer ikke helt i mål der.

Det jeg har prøvd er å illustrere problemet, og se at det gir mening. Legger merke til at hvis vi lar $\alpha = \pi/2 - \theta$, så kan vi lage to rektangler, der den ene har sidelengdene $\cos\theta, \ \sin\theta$ og den andre har $\cos\alpha, \ \sin\alpha$, og det kan jo se ut som at de to rektanglene er roterte versjoner av hverandre.

Alternative enkle bevis er å bruke andre trig-identiteter, eksempelvis $\sin(\pi/2 - \theta) = \sin(\pi/2 + (-\theta)) = \sin(\pi/2)\cos(-\theta) + cos(\pi/2)\sin(-\theta) = \cos(-\theta) = \cos\theta$.

Men jeg tenker at det hadde vært penere med et enhetssirkel-bevis som tar utgangspunkt i allerede kjent kunnskap fra tidligere kurs som 1T og R1. Litt fordi jeg synes enhetssirkel-baserte bevis er for gode til å hoppe over, og litt fordi man slipper å bekymre seg for å måtte grave dypere og bevise de identitetene man trenger. Nå er jo $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ i seg selv et fint eksempel på noe som kan illustreres med enhetssirkelen, forsåvidt.

Lurer altså på om det samme gjelder for kofunksjon-identitetene?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5796
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2

Innlegg Gustav » 06/04-2019 12:25

Ta utgangspunkt i hvordan de trigonometriske funksjonene er definert på enhetssirkelen for alle vinkler $\theta$:

Definisjon:
$\cos \theta =$ x-koordinaten til punktet på enhetssirkelen som svarer til vinkel $\theta$ med x-aksen.
$\sin \theta =$ y-koordinaten etc.


Betrakt en vinkel $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$.

Bilde

a og b er sidelengdene (absoluttverdien) som vist i figuren.

Nå ser vi direkte fra figuren og definisjonen at $\cos \theta = -a$. I tillegg er $\sin (\theta-\frac{\pi}{2})=a$, så $\cos \theta = -\sin(\theta-\frac{\pi}{2})$.

For en $0\le \theta \le \frac{\pi}{2}$, vis ved hjelp av enkel geometri og definisjonen av sinus på enhetssirkelen at $\sin -\theta = -\sin \theta$.

Dermed følger at $\cos \theta = -\sin(\theta-\frac{\pi}{2})= \sin (\frac{\pi}{2}-\theta )$ for vinkler $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2

Innlegg Aleks855 » 07/04-2019 21:01

Utmerket! Er med på hele utregningen, bortsett fra én ting.

Gustav skrev:I tillegg er $\sin (\theta-\frac{\pi}{2})=a$


Denne ser jeg ikke helt trivielt fra illustrasjonen. Sannsynligvis noe veldig åpenbart jeg bare er blind for. $\theta - \frac\pi2$ blir jo $\theta$ men rotert tilbake med $\pi/2$ og jeg ser ikke umiddelbart hvordan vi kan se at vi får $\sin(\theta-\frac\pi2) = a = -\cos(\theta)$.

Prøvde å se hva slags resultater som kan vises veldig lett på 5-6 minutter med betrakting av enhetssirkelen, uten å kludre til det blir rotete og uoversiktelig, og fant disse.

Bilde

Selvfølgelig mye mer som kan vises med litt mer tid, men kjørte bare en "dry-run" av en video for å se hva som lar seg gjøre på rimelig tid.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5796
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2

Innlegg Markus » 07/04-2019 23:47

Tror noe ala dette bør fungere. Betrakt følgende figur
Bilde

Lar i likhet med Gustav $a,b$ være absoluttverdien av sidelengdene. Hvis vi først "vrir" oss $\theta$ mot høyre og deretter $\frac{\pi}{2}$ bakover får vi en rettvinklet trekant. Ved å bruke vinkelsum i en trekant gjentatte ganger og at en halv omdreining rundt enhetssirkelen er $\pi$ får vi de følgende vinklene og det er derifra lett å vise at de to trekantene er like. Herifra følger det at $\sin(\theta-\frac\pi2)=a$. For øvrig; du har vist at $\sin(-x)=-\sin(x)$, og dermed har vi $\sin(\frac\pi2 - \theta)=\sin(-(\theta - \frac\pi2))=-\sin(\theta-\frac\pi2)=-a$, og siden $\cos(\theta)=-a$ er vi ferdige.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2

Innlegg Gustav » 07/04-2019 23:56

Bilde

Det skulle da være ganske greit å se at $\sin(\theta-\frac{\pi}{2})=a$ utfra figuren over.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Trig - Bevise kofunksjon-identiteter for $\theta > \pi/2

Innlegg Aleks855 » 08/04-2019 07:42

Kjempebra! Jeg overså rett og slett formlikheten, men vinkelsummen røper jo det. Tusen takk, begge to!
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5796
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester

cron