Eksamensoppgave i R1, trigonometri

[henrikc]

Hei!

Trenger litt hjelp med denne;

Tre sirkler med sentre i S1, S2 og S3 har radiene a, b og c. Alle sirklene tangerer linja l. Tangeringspunktene er A, B og C. Sirklene tangerer hverandre parvis i punktene D, E og F slik figuren under viser.


1. Forklar at S1S2=a+b. Finn også S1S3 og S2S3 uttrykt ved radiene. (Gjort)
2. Bruk Pytagoras og vis at $AC=2sqrtab$ (Gjort)
3. Vis på samme måte at $AB=2sqrtacogBC=2sqrtbc$ (Gjort)
4. Bruk resultatene fra 2 og 3 til å vise følgende sammenheng mellom radiene i sirklene:
$\frac{1}{sqrtc}=\frac{1}{sqrta}+\frac{1}{sqrtb}$
5. Vi setter a=b=r. Finn c uttrykt ved r.

Trenger da hjelp til 4 og 5.

I 2 og 3 fikk jeg dette:
$A{C}^2=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$
$A{C}^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2$
$A{C}^2=2ab+2ab$
$AC=sqrt4ab$
$AC=2sqrtab$

$A{B}^2=(a+c{)}^2-(a-c{)}^2$
$A{B}^2=a^2+2ac+c^2-a^2+2ac-c^2$
$A{B}^2=2ac+2ac$
$AB=sqrt4ac$
$AB=2sqrtac$

$B{C}^2=(c+b{)}^2-(c-b{)}^2$
$B{C}^2=c^2+2cb+b^2-c^2+2cb-b^2$
$B{C}^2=2cb+2cb$
$BC=sqrt4cb$
$BC=2sqrtbc$

I 4 vet jeg at jeg skal ha AC=AB+BC, men jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal komme meg videre til å få
$\frac{1}{sqrtc}=\frac{1}{sqrta}+\frac{1}{sqrtb}$

Hvis noen da kan hjelpe meg litt på vei, hadde det vært utrolig awesome!

[Gommle]

$$\begin{gathered} AC=AB+BC \\ 2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc} \end{gathered}$$
Ganger begge sider med $\frac{1}{2\sqrt{abc}}$
$\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{abc}}=\frac{2\sqrt{ac}}{2\sqrt{abc}}+\frac{2\sqrt{bc}}{2\sqrt{abc}}$
Forkorter: Husk at $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$
$\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}$

[henrikc]

Der ja, var ikke verre enn det.
Vet ikke helt hvorfor jeg strevde med den nå, men jeg antar at jeg prøvde å gjøre ting vanskeligere enn de er og overså den lette løsningen.

Takk for hjelpen!