Eksakt sum av en rekke...

[meCarnival]

Forstår lite av en oppgave og gjerne ha svar litt raskt...

a)
[tex]\sum_{n=0}^\infty e^{nx}[/tex]

Denne jeg lurer på
b)
Finn den eksakte summen av rekken [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}[/tex] ved to ganger derivasjon av rekken i a) og innsetting av en passende verdi for x.


Takker for alle svar

Svaret står oppgitt som 6...




Prøvd litt, men kommer ikke langt...

Derivering:
[tex]e^{nx} \Rightarrow ne^{nx}[/tex]

Dobbeltderivering:
[tex]ne^{nx} \Rightarrow n^2e^{nx}[/tex]

[Karl_Erik]

Legg merke til at rekken a) er en geometrisk rekke med kvotient [tex]e^x[/tex]. Summen av en uendelig geometrisk rekke (gitt at den konvergerer) er [tex] \frac 1 {1-e^x}[/tex]. Med andre ord har vi likningen [tex]e^{0*x}+e^x+e^{2x}+ ... = \frac 1 {1-e^x} [/tex]. (Igjen om rekken konvergerer.) Deriver så denne to ganger med hensyn på x. Kan du så sette inn en eller annen nyttig verdi for x for å få rekken du har lyst til å finne summen av på venstresiden?

[meCarnival]

Ja...

Oppgave a er gitt slik da, men viste ikke at alt kom til å bli nyttig...

a)
Bestem konvergensområdet for rekken
[tex]\sum_{n=0}^\infty e^{nx}[/tex]

Forklar hvorfor summen av rekken i konvergensområdet er gitt ved[tex] \frac{1}{1-e^x}[/tex]

[meCarnival]

Hvem venstre side, hva står eventuelt der?

Så det er[tex] \frac{1}{1-e^x}[/tex] vi skal deriverer og ikke[tex] e^{nx}[/tex]?

[meCarnival]

Løst...

[Gustav]

For ordens skyld;

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}e^{nx}=\frac{1}{1-e^x}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{d^2}{(dx)^2}\sum_{n=0}^{\infty}e^{nx}\\=\sum_{n=0}^{\infty}n^2e^{nx}=\frac{d^2}{(dx)^2}\left (\frac{1}{1-e^x}\right )\\=\frac{d}{dx}\frac{e^x}{(1-e^x)^2}=\frac{e^x}{(1-e^x)^2}+\frac{2e^{2x}}{(1-e^x)^3}[/tex]

Sett [tex]x=-\ln(2)[/tex]:

[tex]\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=2+4=6[/tex]

[meCarnival]

Hvordan fant du x = ln(0.5)

[Gustav]

Hvordan fant du x = ln(0.5)

For å få riktig rekke må vi ha

[tex]n^2e^{nx}=\frac{n^2}{2^n}[/tex].

Løser vi denne får vi at

[tex](e^{x})^n=(2^{-1})^n[/tex] så

[tex]e^x=2^{-1}[/tex] eller ekvivalent

[tex]x=\ln(2^{-1})=-\ln(2)[/tex]