Eksakt sum av en rekke...

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Forstår lite av en oppgave og gjerne ha svar litt raskt...

a)
[tex]\sum_{n=0}^\infty e^{nx}[/tex]

Denne jeg lurer på
b)
Finn den eksakte summen av rekken [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}[/tex] ved to ganger derivasjon av rekken i a) og innsetting av en passende verdi for x.


Takker for alle svar

Svaret står oppgitt som 6...




Prøvd litt, men kommer ikke langt...

Derivering:
[tex]e^{nx} \Rightarrow ne^{nx}[/tex]

Dobbeltderivering:
[tex]ne^{nx} \Rightarrow n^2e^{nx}[/tex]
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Legg merke til at rekken a) er en geometrisk rekke med kvotient [tex]e^x[/tex]. Summen av en uendelig geometrisk rekke (gitt at den konvergerer) er [tex] \frac 1 {1-e^x}[/tex]. Med andre ord har vi likningen [tex]e^{0*x}+e^x+e^{2x}+ ... = \frac 1 {1-e^x} [/tex]. (Igjen om rekken konvergerer.) Deriver så denne to ganger med hensyn på x. Kan du så sette inn en eller annen nyttig verdi for x for å få rekken du har lyst til å finne summen av på venstresiden?
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Ja...

Oppgave a er gitt slik da, men viste ikke at alt kom til å bli nyttig...

a)
Bestem konvergensområdet for rekken
[tex]\sum_{n=0}^\infty e^{nx}[/tex]

Forklar hvorfor summen av rekken i konvergensområdet er gitt ved[tex] \frac{1}{1-e^x}[/tex]
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Hvem venstre side, hva står eventuelt der?

Så det er[tex] \frac{1}{1-e^x}[/tex] vi skal deriverer og ikke[tex] e^{nx}[/tex]?

:shock: :roll:
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Løst...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

For ordens skyld;

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}e^{nx}=\frac{1}{1-e^x}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{d^2}{(dx)^2}\sum_{n=0}^{\infty}e^{nx}\\=\sum_{n=0}^{\infty}n^2e^{nx}=\frac{d^2}{(dx)^2}\left (\frac{1}{1-e^x}\right )\\=\frac{d}{dx}\frac{e^x}{(1-e^x)^2}=\frac{e^x}{(1-e^x)^2}+\frac{2e^{2x}}{(1-e^x)^3}[/tex]

Sett [tex]x=-\ln(2)[/tex]:

[tex]\Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=2+4=6[/tex]
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Hvordan fant du x = ln(0.5)
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

meCarnival wrote:Hvordan fant du x = ln(0.5)
For å få riktig rekke må vi ha

[tex]n^2e^{nx}=\frac{n^2}{2^n}[/tex].

Løser vi denne får vi at

[tex](e^{x})^n=(2^{-1})^n[/tex] så

[tex]e^x=2^{-1}[/tex] eller ekvivalent

[tex]x=\ln(2^{-1})=-\ln(2)[/tex]
Post Reply