Hvordan går jeg frem for å få det komplekse tallet
[tex]\frac{2}{1-\sqrt{3j }}[/tex]
over på polarform/eksponensialform?
Ganger med [tex]\frac{1+\sqrt{3j }}{1+\sqrt{3j }}[/tex] og prøver å få [tex]j[/tex] alene, men uten håp.
Hvordan få komplekse tall over på polarform?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
(Bruker i istedenfor j som alle andre matematikere...)
[tex]\sqrt{i}=e^{\frac{\pi}{4}i}=\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4})[/tex]
[tex]\frac2{1-\sqrt{3i}}=\frac{2}{1-\sqrt{3}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))}=\frac2{(1-\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{4}))-\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{4})i}[/tex].
Sett: [tex]s=1-\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{4}) \\ t=-\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{4})[/tex].
Da får vi:
[tex]\frac2{1-\sqrt{3i}}=\frac2{s+ti}[/tex]
Multiplisering over og under med den konjugerte til nevneren ([tex]s-ti[/tex]) fører til at vi får uttrykket på formen [tex]a+bi[/tex]. Herfra er det enkelt å skrive det om på formen [tex]re^{\theta i}[/tex]
PS: Egentlig er uttrykket ikke entydig, men jeg har brukt prinsipalverdien til kvadratrota)
[tex]\sqrt{i}=e^{\frac{\pi}{4}i}=\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4})[/tex]
[tex]\frac2{1-\sqrt{3i}}=\frac{2}{1-\sqrt{3}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))}=\frac2{(1-\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{4}))-\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{4})i}[/tex].
Sett: [tex]s=1-\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{4}) \\ t=-\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{4})[/tex].
Da får vi:
[tex]\frac2{1-\sqrt{3i}}=\frac2{s+ti}[/tex]
Multiplisering over og under med den konjugerte til nevneren ([tex]s-ti[/tex]) fører til at vi får uttrykket på formen [tex]a+bi[/tex]. Herfra er det enkelt å skrive det om på formen [tex]re^{\theta i}[/tex]
PS: Egentlig er uttrykket ikke entydig, men jeg har brukt prinsipalverdien til kvadratrota)
Last edited by Gustav on 22/04-2009 01:11, edited 1 time in total.
Heh, den var dårlig.