Heldagsprøve R1 - Våren 2009

[Realist1]

Hadde tentamen i dag, legger den ut på samme måte som jeg har gjort med alle andre prøver vi har hatt. Kanskje noen får nytte av det?

Del 1 varer i to timer, og er komplett uten hjelpemidler. Kun penn og linjal.
Del 2 varer i tre timer, og da får vi bruke kalkulator, bøker og egentlig alt som ikke går under kommunikasjon.

DEL 1
Oppgave 1
I et koordinatsystem med origo $O$ er gitt punktene $A=(4,2)$, $B=(1,4)$ og $C=(-2,-1)$.

a) Finn $\overrightarrow{BA}$ og $\overrightarrow{BC}$.

b) Et punkt $D$ danner sammen med $A$, $B$ og $C$ et parallellogram med $AC$ som diagonal. Finn koordinatene til punktet $D$.

c) Vi har gitt et punkt $E$ slik at $\overrightarrow{OE}=[4,2]+t[-3,2],t\in \mathbb{R}$ Vis at punktet $E$ ligger på linja gjennom $A$ og $B$.

d) Finn $\left|\overrightarrow{OE}\right|$ uttrykt ved $t$.

e) Bestem $t$ når $\left|\overrightarrow{OE}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|$.


Oppgave 2
Deriver funksjonene.

a) $f(x)=x\cdot \ln x$

b) $g(x)=2x{e}^{x^2+1}$


Oppgave 3
Finn de eksakte løsningene av likningene

a) $3{(\ln x)}^2-\ln x=0$

b) $e^{3x}-3e^{2x}+2e^x=0$


Oppgave 4

a) En funksjon $f$ er kontinuerlig men ikke deriverbar i punktet $(2,1)$. Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon $f$.

b) Bestem følgende grenseverdi dersom den eksisterer:
$\underset{x\to 2}{lim}\frac{2x^2-4x}{x-2}$


Oppgave 5
La $f$ være polynomfunksjonen gitt ved $f(x)=2x^3-4x^2-10x+12$.

a) Vis at $f(x)$ er delelig med $x+2$.

b) Faktoriser $f(x)$ i førstegradsfaktorer.


Oppgave 6
En trekant $ABC$ er innskrevet i en sirkel med sentrum $S$. Buen $AC={120}^o$ og $\mathrm{\angle }CSB={90}^o$. Finn vinklene i $\mathrm{\Delta }ABC$.

Del 2 følger.

[Realist1]

DEL 2
Oppgave 7

a) I en kurv ligger det 10 tulipanløk som alle kan spire. Fire av løkene gir gule tulipaner, mens resten gir røde tulipaner. Asbjørn trekker tilfeldig fem av løkene. Hva er sannsynligheten for at to av løkene gir gule tulipaner og tre gir røde tulipaner?

b) Sannsynligheten for at en blomsterløk spirer, kaller vi spireevnen. Sannsynligheten for at en bestemt blomsterløk spirer, er 0,80. Julie har 10 slike løker. Hva er sannsynligheten for at minst åtte av løkene spirer?

c) I en kasse ligger det svært mange tulipanløk. 40 % av løkene gir gule tulipaner, mens resten gir røde tulipaner. De gule tulipanene har en spireevne på 0,85, mens de røde har en spireevne på 0,95. Fredrik trekker tilfeldig én tulipanløk fra kassa.
(1) Hva er sannsynligheten for at løken spirer med gul blomst.
(2) Hva er sannsynligheten for at løken spirer?
(3) Hva er sannsynligheten for at løken spirer med gul blomst hvis vi vet at den vil spire?


Oppgave 8

a) Finn $x$ ved regning. Gi begrunnelse for utregningen (viktig!).


b) Vis at vinkel $A$ er rett.


Oppgave 9
Punktene $A(-2,-3)$, $B(4,1)$ og $C(0,7)$ er hjørnene i trekanten $ABC$.

a) Finn $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ og $\overrightarrow{AC}$.

b) Vis at trekanten $ABC$ er likebeint og rettvinklet.

c) Finn ved regning koordinatene til et punkt $D$ slik at firkanten $ABCD$ blir et kvadrat.

d) Et punkt $E$ ligger på $y$-aksen slik at $\mathrm{\angle }EAC$ er rett. Finn koordinatene til $E$.


Oppgave 10
Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=x{e}^{-x},D_f=[0,12⟩$.

a) Regn ut $f^{\prime }(x)$ og $f^{\prime \prime }(x)$.

b) Finn toppunktet til $f$ ved regning.

c) Finn vendepunktet til $f$ ved regning.

d) Tegn grafen til $f$.

En skiprodusent introduserer en ny type smørefrie ski. Produsenten regner med at de om $x$ år kommer til å selge $S(x)$ par ski per måned. $S(x)$ er gitt ved $S(x)=1000\cdot f(x)$.

e) Bruk grafen fra oppgave d) til å finne ut når salget er 200 par ski per måned.

f) Når er salget størst? Hvor stort er salget da?

g) Når er nedgangen i salget størst? Hvor stor er nedgangen i salget per måned da?


Oppgave 11
Bilde av et fortegnsskjema. $f^{\prime \prime }(x)$ er 0 når x=1. $f^{\prime \prime }(x)$ er negativ når x<1 og positiv når x>1.

a) Hva forteller fortegnsskjemaet om grafen til $f$?

b) I tillegg til fortegnsskjemaet får du oppgitt at $f^{\prime }(-1)=0$ og $f^{\prime }(3)=0$.
Tegn en graf som oppfyller opplysningene om $f$.

[espen180]

Jeg har heldagsprøve en gang i mai og får nok nytte av denne. Takk for prøven.

[gabel]

Lurer litt på denne

$\underset{x\to 2}{lim}\frac{2x^2-4x}{x-2}$

Satt inn grensen først og fikk 0/0. Som vil si never er en faktor i teller.

$\frac{2x^2-4x}{x-2}=2x$

Det finnes ingen grense ?

[magneam]

Grensen finnes.
Når du kan forkorte brøken slik du gjorde, har vi ikke lenger et 0/0 uttrykk og du kan trygt sette inn x->2. Grensen går dermed mot 4 siden 2*2 = 4 .
Du kan også tegne opp grafen på en kalkulator og se at kurven ikke går mot uendelig i x=2.

[edahl]

Går på Steinerskolen, så får nok en annen prøve. Allikevel greit å ha noe å regne på

[Realist1]

Går på Steinerskolen, så får nok en annen prøve. Allikevel greit å ha noe å regne på

Det er nok ingen andre i hele landet som får denne prøven, det er nemlig vår mattelærer som har laget den.
Så vidt jeg har skjønt det, så har han tatt heldagsprøveforslaget til Cappelen og trukket fra temaer vi ikke har fokusert på, og lagt litt ekstra inn på det vi har fokusert på. I alle oppgavene der navn nevnes har han brukt navn på elever i klassen vår. Litt artig, synes jeg. Lei av de gamle Per og Astrid-oppgavene.

Så ja, at jeg legger prøven ut her er nok en kombinasjon av at det i det minste er i samme bane som det dere andre får, pluss at jeg liker å laste opp prøvene mine, da, så jeg har dem digitalt.

Jeg vet ikke med dere, men vi røsket til oss alle repetisjonsoppgaver vi kom over, og fikk kopi av fjorårets lokale tentamen, fjorårets tentamensforslag fra forlaget, i tillegg til noen oppgaver læreren vår lagde for å gi oss ekstra oppgaver som var relevante tentamensemner. Kanskje finnes det flere der ute som også tar de oppgavene de får, som får nytte av vår tentamen. Slik tenker jeg.

[lodve]

Skal også ha tentamen en gang i mai. Så jeg får nok stor nytte av å gjøre disse tentamensoppgavene over. Realist1, kommer du til å legge ut fasitsvar til den tentamenen over etter hvert?

[Realist1]

Realist1, kommer du til å legge ut fasitsvar til den tentamenen over etter hvert?

Det kan jeg gjøre når jeg får den, men det tar helt sikkert noen uker. Alternativt kan jeg jo legge ut hva jeg tror er riktig svar på de forskjellige oppgavene, eller at du spør hvis du lurer på noe, så får du sikkert hjelp her.

[matsorz]

Vil anbefale folk som skal opp i R1 om å lese på denne. Vi hadde tentamen i dag, 60% av oppgavene var helt identiske med denne!

[persan]

legger du ut hva du fikk som svar?

[persan]

Noen som kan gjennomgå punkt for punkt oppgave 1c, d og e?

Og hva fikk dere til svar i oppgave 6?

[matsorz]

Oppgave 6 er litt vanskelig å løse her, om du ikke ser figuren. Vinkel A er en periferivinkel, og halverer vinkelen til sentrum som er 90 graderog er da 45 grader

Vinkel ACS=120-90=30 grader. Trekant BCS er likebenet, fordi radiusen er lengdene til to av sidene. Vinkel BCS er da 180-90/2= 45 grader.

Vi kan nå finne ut hva vinkel C er ved å ta 30+45=75 grader.

Vinkel B=180-vinkel A-vinkel C=180-45-75=60grader

VinkelA=45 grader, vinkel B=60 grader og vinkel C=75 grader

[matsorz]

Forresten noen som kan løse oppgave 10 e),f) og g) ?

[Realist1]

På oppgave 1c kan du utnytte at vektoren OA er [4, 2] og vektoren OE = [4, 2] + ...

Det betyr at vektoren OE slik den er beskrevet "går innom" A. Det betyr at for at E skal ligge på linje med A og B, så må AE være parallell med AB. Og siden det finnes en t slik at AB = tAE, så er de parallelle, altså ligger de på linje. Husker ikke hvordan jeg skrev det på tentamen, men det var dårlig forklart der også. Håper han ikke legger mye vekt på det. Noen må gjerne forklare det mer matematisk her.

1d da.
Vektoren OE var:
$\overrightarrow{OE}=[4,2]+[-3t,2t]=[-3t+4,2t+2]$
Lengden blir derfor:
$|\overrightarrow{OE}|=\sqrt{(-3t+4{)}^2+(2t+2{)}^2}=\sqrt{(16-24t+9t^2)+(4t^2+8t+4)}=\underset{―}{\underset{―}{\sqrt{13t^2-16t+20}}}$

1e
$$\begin{gathered} |\overrightarrow{OE}|=\overrightarrow{OA}| \\ \sqrt{13t^2-16t+20}=\sqrt{20} \\ 13t^2-16t+20=20 \\ 13t^2-16t=0 \\ t=0\vee t=\frac{16}{13} \end{gathered}$$

Oppgave 6:
60[sup]o[/sup], 45[sup]o[/sup] og 75[sup]o[/sup].


Fikk JEG da. Dette er ikke nødvendigvis noe fasit.