Matriser og egenvektorer

[FredrikM]

To matriser [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] kalles similære dersom det finnes en matrise [tex]P[/tex] slik at [tex]A=P^{-1}BP[/tex]

Vis at [tex]A[/tex]og [tex]B[/tex] har de samme egenverdiene.

Sliter litt med denne. Noen som kan hinte? (står fast på første steg, så ikke spør om hva jeg har gjort allerede )

[meCarnival]

Og du har ikke oppgitt noen av matrisene?
( - Hvis ikke vil jeg gjerne også vite svaret på denne)

[FredrikM]

Nei, dette er all informasjon jeg har.

[mrcreosote]

Hvis a er en egenverdi for B, er det(B-aI)=0. Dessuten er I=P^{-1}P. Rop om flere hint trengs!

[Gustav]

Poster en fullstendig løsning og regner med at dere er såpass selvdisiplinerte at dere ikke ser på alt før dere prøver selv..



La [tex]A [/tex] ha egenverdi [tex]\lambda[/tex].
(Husk at egenverdi og egenvektor kommer i par)

Da er

[tex]Ax=\lambda x[/tex] hvor [tex]x[/tex] er tilhørende egenvektor.

Siden det fins en [tex]P[/tex] slik at [tex]A=P^{-1}BP[/tex], vil

[tex]P^{-1}BPx=\lambda x[/tex].

Vi multipliserer med [tex]P[/tex] fra venstre:

[tex]PP^{-1}BPx=\lambda Px[/tex]

Siden [tex]PP^{-1}=I[/tex] og [tex]IB=B[/tex] er

[tex]BPx=\lambda Px[/tex].

Her identifiserer vi vektoren [tex]Px[/tex] og [tex]\lambda[/tex] som henholdsvis egenvektor og egenverdi for [tex]B[/tex], og vi er dermed i mål.

(Sett [tex]Px=y[/tex]. Da er [tex]y[/tex] og [tex]\lambda[/tex] egenvektor og tilhørende egenverdi for [tex]B[/tex])

[FredrikM]

Takker for svar. Så nå at en av grunnene til at jeg ikke klarte denne, var at jeg glemte av at en matrise ganget med en vektor blir en vektor (og dermed en potensiell egenvektor).

Men da har jeg ihverfall lært det (!).

[Gustav]

Alternativ løsning som benytter egenskapene til determinanten.

La [tex]\lambda[/tex] være egenverdi for [tex]A[/tex]. Da er

[tex]\det(A-\lambda I)=0[/tex]

Pga. similaritet fins en invertibel [tex]P[/tex]:

[tex]\det(A-\lambda I)=\det(P^{-1}BP-\lambda I)=\det(P^{-1}BP-\lambda P^{-1}P)\\=\det(P^{-1}(B-\lambda I)P)=\det(P^{-1})\det(B-\lambda I)\det(P)=\det(B-\lambda I)=0[/tex]

Så [tex]\lambda[/tex] er egenverdi for [tex]B[/tex].

På samme måte vises den motsatte veien.

[FredrikM]

Oj. Nå virker hintet til mrcreosote enda mer obvious. *føle meg litt dum* Hehe, men uansett - lærer nå ihvertfall.