Vanskelig algebranøtt?

[Markonan]

Edit 2:
Se innlegg under for den ordentlige nøtten.

Jeg slurvet litt og lagde en enkel oppgave først:
Finn x.
[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = 8[/tex]

[Markonan]

Nei forresten...

Den var jo ikke det minste vanskelig.

[Gauteamus]

Denne lukter det jo "knep" av lang vei!
Jeg brukte derimot "brute force":

[tex]\sqrt{x+3} + \sqrt{x+5} = 8[/tex]

[tex](x+3) + 2 \sqrt{x+3}\sqrt{x+5} + (x+5) = 64[/tex]

[tex]2x + 8 + 2\sqrt{(x+3)(x+5)} = 64[/tex]

[tex]sqrt{x^2+8x+15} = 28 - x[/tex]

[tex]x^2 + 8x + 15 = x^2 - 56 x + 28^2[/tex]

[tex]64x = 769[/tex]

[tex]x = \frac{769}{64}[/tex]

Opphøyer i andre på hver side av likhetstegnet i to omganger, og romsterer rundt på leddene.

EDIT: men hva hvis heltallene er vilkårlige heltall?
Fortsatt brute force:
a = 3, b = 5, c = 8

[tex]\sqrt{x+a} + \sqrt{x+b} = c[/tex]

[tex](x+a) + 2 \sqrt{x+a}\sqrt{x+b} + (x+b) = c^2[/tex]

[tex]2x + (a+b) + 2\sqrt{(x+a)(x+b)} = c^2[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+(a+b)x+ab} = \frac{c^2 - (a+b)}{2} - x[/tex]

[tex]x^2 + (a+b)x + ab = x^2 - (c^2-(a+b)) x + (\frac{c^2 - (a+b)}{2})^2[/tex]

[tex]c^2 x = (\frac{c^2 - (a+b)}{2})^2 - ab[/tex]

[tex]x = \frac{a^2+b^2+c^4-2(ab+ac^2+bc^2)}{4 c^2}[/tex]

Kan dette siste skrives noe vakrere?
EDIT:
[tex] x = \frac{(a-b)^2 + c^2(c^2-2a-2b)}{4 c^2}[/tex]

[tex]x = (\frac{a-b}{2c})^2 + \frac{c^2 - 2a - 2b}{4}[/tex]

[Markonan]

Ah, så det var noen som rakk å se oppgaven før jeg fikk redigert den bort.

Akkurat den jeg postet var jo ikke noe spesielt vanskelig, som jeg hintet til over. Var ikke helt den oppgavetypen jeg hadde tenkt. Men hva om man gjør en liten endring:

[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = x + 8[/tex]

Løs den om du klarer! I dare you!

Edit:
Eller... knoter visst fælt i dag. Dette blir jo bare en fjerdegradsligning.
Kommer tilbake med en oppgave litt senere, må bare se om jeg klarer å finne den først.

[Markonan]

Nei, klarer ikke å finne den. En av moderatorene må gjerne slette denne tråden. (Føler det er like før jeg mister ansikt her inne ).

[espen180]

Vært der jeg og...

[FredrikM]

Bedre å miste ansikt enn aldri å vise ansikt.

[193]

Er det noen her som kan løse fjerdegradsligninger, da? Det ville være interessant om noen kunne vise fremgangsmåten.

[BMB]

[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = x + 8[/tex]

Hvis man studerer denne ligningen litt og tenker over hva røtter er, får man raskt en mistanke om at denne ikke har løsninger. Det er også tilfellet; høyresiden er alltid større enn venstresiden.

Kjapt bevis

[tex](x+6)^2+8 \ > \ 0 \ \Leftrightarrow \ (x+8)^2 \ > \ 4(x+5)[/tex]

Ta kvadratrota på begge sider (en strengt voksende funksjon, så det er lov), og vi får

[tex]x+8 \ > \ 2 \sqrt{x+5} \ > \ \sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}[/tex]

Så denne har ikke løsninger

[FredrikM]

Er det noen her som kan løse fjerdegradsligninger, da? Det ville være interessant om noen kunne vise fremgangsmåten.

http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

Evig lang prosess å løse slike, og man gjør det som regel aldri for hånd.

[Markonan]

[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = x + 8[/tex]

Hvis man studerer denne ligningen litt og tenker over hva røtter er, får man raskt en mistanke om at denne ikke har løsninger. Det er også tilfellet; høyresiden er alltid større enn venstresiden.

Kjapt bevis

[tex](x+6)^2+8 \ > \ 0 \ \Leftrightarrow \ (x+8)^2 \ > \ 4(x+5)[/tex]

Ta kvadratrota på begge sider (en strengt voksende funksjon, så det er lov), og vi får

[tex]x+8 \ > \ 2 \sqrt{x+5} \ > \ \sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}[/tex]

Så denne har ikke løsninger

Du viser vel at den ikke har noen reelle løsninger, men den har komplekse løsninger.

Sjekker i Matlab.

Code: Select all

>> syms x
>> solve('sqrt(x + 3) + sqrt(x + 5) = x + 8', x)
 
ans =
 
 -3+(1/2+1/6*3^(1/2)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*(-(102*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+3*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+948*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-18*3^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)/((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2))^2

 -3+(1/2+1/6*3^(1/2)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+1/6*(-(102*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+3*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+948*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-18*3^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)/((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2))^2
 

[=)]

Med "simple" i matlab (maple)

Code: Select all

 -7+1/6*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+1/6*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)+1/18*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)+1/2/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2)
 
-7+1/6*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)-1/18*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)+1/2/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2)

Pent svar.

[FredrikM]

Forøvrig ingen overraskelse at den hadde komplekse røtter. Alle n-tegradspolynomer med reelle koeffisienter har n røtter (om man teller med multiplisitet).

[Markonan]

Simple var en genial kommando. Var ikke klar over den!

[espen180]

Den ligningen minner meg om dette integralet. Det hadde også en rimelig komplisert løsning.

[tex]I=\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}}\rm{d}x[/tex]

De interreserte kan prøve Quickmath eller Mathematica integrator.