Evaluer [tex] \int (x+y)ds [/tex] hvor C er det rette linjestykket x=t,
y=(1-t), z=0 fra (0,1,0) til (1,0,0)
Vi skriver om til formen:
r(t)=ti+(1-t)j
Deretter finner vi |v(t)|
[tex] |v(t)|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} [/tex]
Så har vi sammenhengen
Vi har sammenhengene:
x=t og y=1-t x+y=t+(1-t)=1
[tex]\int f(t,1-t,0)|\frac{dr}{dt}dt [/tex] med grenser fra 0 til 1
[tex]\int 1|sqrt{2}dt [/tex] med grenser fra 0 til 1
[tex]sqrt{2}[/tex]
Dette svaret er samordnet med fasiten som viser utregning. Men hvorfor går grensene fra 0 til 1?
x går fra 0 til 1 og y går fra 1 til 0.
linjeintegral
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Takk jeg kan se at siden y=1-t vil den gå fra 1 til 0 når t går fra 0 til 1.
I det hele tatt synes jeg parameterisering er vanskelig
Her er en annen oppgave:
Arbeid: Finn arbeidet gjort av kraften
[tex]F=xyi-(y-x)j[/tex] over den rette linjen fra (1,1) til (2,3)
Jeg har funnet en metode som man kan skrive om to koordinatpunkter til en parameterisering gitt ved t:
[tex]x=(1-t)x0+tx1[/tex] [tex]y=(1-t)y0+ty1[/tex]
For oppgaven blir det:
[tex]x=(1-t)1+t\cdot 2=1+t[/tex] [tex]y=(1-t)1+t\cdot 3=1+2t[/tex]
Hvorfor dette fungerer vet jeg imedlertid ikke
Da blir [tex]F=(1+t)(1+2t)i + 1+2t-(1+t)j[/tex]
[tex]F=(1+3t+2t^2)i + tj[/tex]
Og
[tex]r=1+ti + 1+2tj[/tex]
[tex]\frac{dr}{dt}=i+2j[/tex]
og
[tex]F\cdot \frac{dr}{dt}=1+5t+2t^2[/tex]
Og vi får integralet:
[tex]\int 1+5t+2t^2 dt[/tex]
Men hvordan finner man grensene? De skal være fra 0 til 1, men hvordan ser man dette? Og hvis noen vet hvorfor utregningen av parameteriseringen for x og y gitt ovenfor fungerer blir jeg veldig glad altså at
[tex]x=(1-t)x0+tx1[/tex] [tex]y=(1-t)y0+ty1[/tex]
I det hele tatt synes jeg parameterisering er vanskelig
Her er en annen oppgave:
Arbeid: Finn arbeidet gjort av kraften
[tex]F=xyi-(y-x)j[/tex] over den rette linjen fra (1,1) til (2,3)
Jeg har funnet en metode som man kan skrive om to koordinatpunkter til en parameterisering gitt ved t:
[tex]x=(1-t)x0+tx1[/tex] [tex]y=(1-t)y0+ty1[/tex]
For oppgaven blir det:
[tex]x=(1-t)1+t\cdot 2=1+t[/tex] [tex]y=(1-t)1+t\cdot 3=1+2t[/tex]
Hvorfor dette fungerer vet jeg imedlertid ikke
Da blir [tex]F=(1+t)(1+2t)i + 1+2t-(1+t)j[/tex]
[tex]F=(1+3t+2t^2)i + tj[/tex]
Og
[tex]r=1+ti + 1+2tj[/tex]
[tex]\frac{dr}{dt}=i+2j[/tex]
og
[tex]F\cdot \frac{dr}{dt}=1+5t+2t^2[/tex]
Og vi får integralet:
[tex]\int 1+5t+2t^2 dt[/tex]
Men hvordan finner man grensene? De skal være fra 0 til 1, men hvordan ser man dette? Og hvis noen vet hvorfor utregningen av parameteriseringen for x og y gitt ovenfor fungerer blir jeg veldig glad altså at
[tex]x=(1-t)x0+tx1[/tex] [tex]y=(1-t)y0+ty1[/tex]
ærbødigst Gill
La oss si at vi skal finne en parametrisering av en rett linje mellom punktene [tex](a,b)[/tex] og [tex](c,d)[/tex].
Da må [tex]x(0)=a[/tex] og [tex]x(1)=c[/tex], så vi lar [tex]x(t)=(1-t)a +tc=(c-a)t+a[/tex]
På samme vis må [tex] y(0)=b[/tex] og [tex]y(1)=d[/tex] så vi lar [tex]y(t)=(1-t)b+td=(d-b)t+b[/tex].
For å se at dette blir en rett linje skriver vi
[tex]t=\frac{x-a}{c-a}[/tex] og setter inn i uttrykket for [tex]y[/tex], så vi får
[tex]y=(d-b)\frac{x-a}{c-a}+b=\frac{d-b}{c-a}x+\frac{a(d-b)}{a-c}+b[/tex], altså på formen til en rett linje (y=ax+b).
Da må [tex]x(0)=a[/tex] og [tex]x(1)=c[/tex], så vi lar [tex]x(t)=(1-t)a +tc=(c-a)t+a[/tex]
På samme vis må [tex] y(0)=b[/tex] og [tex]y(1)=d[/tex] så vi lar [tex]y(t)=(1-t)b+td=(d-b)t+b[/tex].
For å se at dette blir en rett linje skriver vi
[tex]t=\frac{x-a}{c-a}[/tex] og setter inn i uttrykket for [tex]y[/tex], så vi får
[tex]y=(d-b)\frac{x-a}{c-a}+b=\frac{d-b}{c-a}x+\frac{a(d-b)}{a-c}+b[/tex], altså på formen til en rett linje (y=ax+b).