Cosinus-Delvis integrasjonsproblem

[Arbeider]

Oppgave 3: Løs
[tex]\int_ \: cos^2 xdx[/tex]

Prøvde:
Ved bruk av enhetsformelen skrev om til:

[tex]\int_ \: cos^2 x dx=\int_ \: 1-sin^2x dx[/tex]

Hvis riktig til hit,hva gjør man videre?

[Vektormannen]

Det hjelper deg egentlig ikke noe som helst å skrive om til [tex]1 - \sin^2x[/tex], da du egentlig står med akkurat samme problemstilling. Jeg ville heller brukt at [tex]\cos 2x = 2\cos^2 x - 1[/tex]

[FredrikM]

Eventuelt kan du bruke delvis integrasjon (cos^2=cos cos)

[Arbeider]

Bruker delvis integrasjon for å løse [tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=sinxcosx+\int_\: sinxsinxdx=sinxcosx+(-cosx\cdot(-cosx))+C=sinxcosx+cosxcosx+C[/tex]

Hvor er feilen?Hvordan blir det da?

[Stone]

Feilen ligger i at du plutselig sier at [tex]\int (sinx)(sinx) dx = (-cosx)(-cosx)[/tex]
Jeg ville heller fulgt Vektormannen sitt tips. Gjør det hele mye enklere

[Arbeider]

Hva om jeg ikke følger det tipset,hvordan kan jeg da løse det?

[Stone]

Om du absolutt ikke vil det, så kan du forsåvidt bruke 2-3 runder med delvis integrasjon.
Begynne slik som du gjorde, men på [tex]\int sinx*sinx dx[/tex]
Så må du bruke delvisintegrasjon enda en gang.

[Markonan]

[tex]\cos 2x = 2\cos^2 x - 1[/tex]

[tex]2\cos^2 x - 1 = \cos 2x[/tex]

[tex]2\cos^2 x = \cos 2x + 1[/tex]

[tex]\cos^2 x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}[/tex]

Altså blir integralet ditt:
[tex]\int \cos^2 x dx \;=\; \frac{1}{2}\int \cos 2x + 1 dx[/tex]

Denne utveien er mye, mye enklere!

[Arbeider]

[tex]\int \cos^2 x dx \;=\; \frac{1}{2}\int \cos 2x + 1 dx[/tex]

[tex]u=2x[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=2[/tex]
[tex]\frac{1}{2}du=dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int_\: (cosu+1)\cdot \frac{1}{2}du[/tex]
[tex]\frac{1}{4}\int_\: (cosu+1)du[/tex]
[tex]\frac{1}{4}\int_\: (cosu+1)du=\frac{1}{4}sinu+\frac{1}{4}u+C=\frac{1}{2}sinxcos+\frac{1}{2}x+C[/tex]

[Arbeider]

[tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon for [tex]\: \int\: sinx(-sinx)dx[/tex]

[tex]u`(x)=sinx \; u(x)=-cosx[/tex]
[tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=cosx[/tex]

Setter inn i utledning over og får;

[tex]\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=(-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

Setter inn :
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-(sinx) \cdot (cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

[tex]2 \int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-sinx \cdot cosx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=\frac{1}{2}(sinxcosx-sinx \cdot cosx)+C[/tex]

Edit:Innlegget er blitt endret til riktig anngående fortegn.

[FredrikM]

Ting ser riktig ut så langt.

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=sinxcosx-cosxsinx+\int\: cosx\cdot cosx dx[/tex]

Flytt så [tex]\int\: cosx\cdot cosx dx[/tex] over på andre siden, slik at du får [tex]2\int\: cosx\cdot cosx dx[/tex] på venstresiden. Del på to.

[Arbeider]

Det var det sm var tenkt men når [tex]+ \int_\: cosxcosxdx[/tex], flyttes til venstre siden så skifter det jo fortegn.

Altså får det ikke til å bli:
[tex]\int_\:cosxcosxdx + \int_\: cosxcosx dx\:=2\int_\: cosxcosx dx[/tex] men [tex]\int_\:cosxcosxdx -\int_\:cosxcosx dx=0[/tex]

[FredrikM]

Da spår jeg en fortegnsfeil ett eller annet sted.

[Arbeider]

Tenkte det var det;
[tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon for [tex]\: \int\: sinx(-sinx)dx[/tex]

[tex]u`(x)=sinx \; u(x)=-cosx[/tex]
[tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=-cosx[/tex]

Setter inn i utledning over og får;

[tex]\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=(-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (-cosx)dx[/tex]

Setter inn :
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (-cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-(sinx) \cdot (cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

[Vektormannen]

[tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=cosx[/tex]

Fortegnsfeil.