Derivasjon av brøkuttrykk.

[Betelgeuse]

[tex]f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Hvordan deriverer man denne ordentlig? Jeg skal også finne vendepunktene men sliter også med å løse likninger av denne typen hvis jeg setter den lik null. Er det noen som kan gi noen generelle tips på hvordan man kan løse slike likgninger når man har et kvadratrotsutrykk i nevneren?

[Arbeider]

[tex]f`(x)=0[/tex]
Kvotientregelen gir;

[tex](\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})`=\frac{ x` \cdot ({\sqrt{x^2+1}})-x \cdot ({\sqrt{x^2+1}})`}{(\sqrt{x^2+1})^2}[/tex]


[tex](\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})`=\frac{ (\sqrt{x^2+1})-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}[/tex]

[tex](\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})`=\frac{ \frac{\sqrt{x^2+1}\cdot \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}[/tex]

[tex](\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})`=\frac{ \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}[/tex]

[tex](\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})`=\frac{ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}[/tex]

Vendepunkt finner man ved å sette:
[tex]f``(x)=0[/tex]

[Realist1]

[tex]f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Hvordan deriverer man denne ordentlig? Jeg skal også finne vendepunktene men sliter også med å løse likninger av denne typen hvis jeg setter den lik null. Er det noen som kan gi noen generelle tips på hvordan man kan løse slike likgninger når man har et kvadratrotsutrykk i nevneren?

Hva med å omforme til
[tex]f(x) = x \ \cdot \ (x^2+1)^{-\frac12}[/tex]
Da er det kanskje lettere å derivere den med produktregelen?

[Betelgeuse]

Ah, allright! Takker. Men kan man forkorte det uttrykket du kom frem til på slutten til [tex]\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}[/tex] hvis man dividerer med det under brøkstreken?

Det jeg sliter med er å løse likninger av denne typen hvis du setter dem lik null. Skjønner ikke hvordan jeg skal gå frem i utregningene. Det nermeste jeg kommer er å se etter et svar.

[Arbeider]

Ja, det kan du gjøre.Og da må du derivere denne ved bruk av kvotientregelen slik at du får [tex]\: f``(x)\:[/tex]for å finne vendepunkt.

Altså når man bruker kvotientregelen for å derivere:

[tex]f`(x)=\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}[/tex]

får man :

[tex]f``(x)=\frac{-3x\sqrt{x^2+1}}{(x^2+1)^3}[/tex]

Da finner man vendepunktet slik:

[tex]f``(x)=0[/tex]

[tex]\frac{-3x\sqrt{x^2+1}}{(x^2+1)^3}=0[/tex]

[tex]-3x\sqrt{x^2+1}=0[/tex]

[tex]-3x=0 [/tex]
eller
[tex]\sqrt{x^2+1}=0[/tex]

Når [tex]\: -3x=0\:[/tex], er :
[tex]x=0 \:[/tex]da blir :

[tex]-3x\sqrt{x^2+1}=0[/tex]
når :
[tex]x=0[/tex]
Det er førstekordinat til vendepunktet.

Andre kordinat til vendepunktet:

[tex]y=f`(0)=0[/tex]
Vi får vendepunkt [tex]\: (0,0) \:[/tex]

Tast funksjonen [tex]\: f(x)\:[/tex] i kalkulator og woalah , du ser da vendepunktet.

[Betelgeuse]

Ah! Selvfølgelig trenger du bare å ta telleren i betraktning når du ser etter nullpunktet til en rasjonal funksjon. Takk for hjelpen!