Gitt oppgaven:
"Illustrervektoraddisjonen [3,2] + [-1,4] og addisjonen (3 + 2i) + (-1 + 4i) og kommenter sammenhengen."
Jeg ser at når man løser vektoraddisjonen får jeg [2,6] og (2 + 6i) på den andre. Hvilken sammenheng ligger i dette?
Jeg har et prosjekt med tema kvaternioner. Da lurer jeg på sammenhengen mellom kvaternioner, kompleke tall og vektorer. Det jeg har skjønt er at komplekse tall er punkter i det komplekse planet. (Er det komplekse plan et plan som tillater å ha tall som [symbol:rot]( -1) i en av aksene sine?)Kvaternioner er videreutvikling av komplekse tall. Hamilton ville få fram (siden han først hadde oppdaget komplekse tall) vektorer i 3D...(litt usikker)...men kom fram til at vektorer i 4D var det som var mulig (hvorfor det?). Han ville få 3D vektorer til å rotere. Hvorfor det?
Forresten, hva er de norske ordene for "rings and fields", "skew field" og "1, i, j, k are mutually perpendicular" og "isomorphic"
Sammenheng mellom...
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Overlater det til andre å forklare dypere om kvaternioner. Har så vidt hørt om det.
Det komplekse plan er et plan med to akser. Den reelle aksen (vanligvis førsteaksen) som er den vanlige reelle tallinjen, og den komplekse aksen med den imaginære enheten i (der i[sup]2[/sup] = -1).
Ved å representere komplekse tall i det komplekse planet kan du få grafiske tolkninger av addisjon, subtraksjon, konjugasjon og multipliserer. Du kan kanskje se på denne lille videosnutten:( trykk deg inn på "geometrisk tolkning" i kapittel 3.)
http://folk.uio.no/sindrf/matte/
Rings and fields - ringer og kropper. F.eks [tex]\mathbb{R}[/tex] er en kropp.
http://no.wikipedia.org/wiki/Kropp_(matematikk)
1,i,j,k are mutually perpendicular - de er gjensidig loddrette.
Isomorphic - Isomorfisk.
Det komplekse plan er et plan med to akser. Den reelle aksen (vanligvis førsteaksen) som er den vanlige reelle tallinjen, og den komplekse aksen med den imaginære enheten i (der i[sup]2[/sup] = -1).
Ved å representere komplekse tall i det komplekse planet kan du få grafiske tolkninger av addisjon, subtraksjon, konjugasjon og multipliserer. Du kan kanskje se på denne lille videosnutten:( trykk deg inn på "geometrisk tolkning" i kapittel 3.)
http://folk.uio.no/sindrf/matte/
Rings and fields - ringer og kropper. F.eks [tex]\mathbb{R}[/tex] er en kropp.
http://no.wikipedia.org/wiki/Kropp_(matematikk)
1,i,j,k are mutually perpendicular - de er gjensidig loddrette.
Isomorphic - Isomorfisk.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Takk for den 
Det er fortsatt en del ting jeg trenger å vite til framføringen min. Hva er sammenhengen mellom kvaternioner, komplekse tall og vektorer (eller mellom vektorer og kvaternioner
)?. Jeg vet at kvaternioner brukes i kvantemekanikk og til å lage fraktaler som Julia sets. Men hvilken plan brukes da? Altså komplekse tall har en 2 dimensjonal plan (det komplekse planet). Kvaternioner må vel også ha et sånt plan...
Hamilton var ute etter å multiplisere 3D vektorer i formen a+bi+cj. Men han skjønte at han trengte en ny imaginær del k for at den skulle stå vinkelrett med de andre tre elementer. Her er det en del jeg ikke skjønner.
1) Hva var hensikten med å multiplisere 3D vektorer? Hvorfor gikk det ikke?
2) Hvordan så han at han trengte en ekstra imaginær del? Er det noen plan involvert i dette?
3) Hvorfor skulle elementene stå vinkelrett på hverandre?
Nå som jeg er i gang, hva er euklidsk plan og euklidsk 4-rom?
Det er fortsatt en del ting jeg trenger å vite til framføringen min. Hva er sammenhengen mellom kvaternioner, komplekse tall og vektorer (eller mellom vektorer og kvaternioner
)?. Jeg vet at kvaternioner brukes i kvantemekanikk og til å lage fraktaler som Julia sets. Men hvilken plan brukes da? Altså komplekse tall har en 2 dimensjonal plan (det komplekse planet). Kvaternioner må vel også ha et sånt plan...Hamilton var ute etter å multiplisere 3D vektorer i formen a+bi+cj. Men han skjønte at han trengte en ny imaginær del k for at den skulle stå vinkelrett med de andre tre elementer. Her er det en del jeg ikke skjønner.
1) Hva var hensikten med å multiplisere 3D vektorer? Hvorfor gikk det ikke?
2) Hvordan så han at han trengte en ekstra imaginær del? Er det noen plan involvert i dette?
3) Hvorfor skulle elementene stå vinkelrett på hverandre?
Nå som jeg er i gang, hva er euklidsk plan og euklidsk 4-rom?
Det virker som om han ville lage noe som ligner på kryssproduktet (som lager en tredje vektor som står vinkelrett på de to andre), bare at dette skulle gjelde for tre vektorer (eller lignende).3) Hvorfor skulle elementene stå vinkelrett på hverandre?
Forestill deg et tredimensjonalt aksesystem. Hver akse står vinkelrett på de to andre. For å kunne sett inn enda en akse som står vinkelrett på disse to, trenger man en ny dimensjon, og det sørger den tredje imaginære enheten for.2) Hvordan så han at han trengte en ekstra imaginær del?
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Kvaternioner lever i fire dimensjoner hvorav én er reell og tre er imaginære. Regnereglene for produkter i de tre imaginære dimensjonene minner, som Fredrik var inne på, om kryssprodukt for vektorer. Man bruker vanligvis notasjonen i,j,k for de tre typene imaginære tall. Forestill deg et tredimensjonalt koordinatsystem der aksene har enheter i, j, k. Analogien til [tex]\mathbb{R}^3 [/tex] er påfallende; I det reelle tilfellet skriver vi vektorer i tredimensjonalt euklidsk rom som [tex]\vec{r}=\langle x,y,z\rangle[/tex], der [tex]\vec{r}[/tex] er posisjonen. En annen måte å skrive dette på er [tex]\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}[/tex] der [tex]\vec{i}[/tex] betegner enhetsvektoren til x-aksen etc.
(Fra nå av dropper jeg bruken av [tex]\vec{i}[/tex] og skriver istedet [tex]i[/tex].)
I vanlig 3-dimensjonalt rom er enhetsvektorene [tex](i,j,k)[/tex] ortonormale (ortogonale+normerte), dvs at
[tex]i^2=j^2=k^2=1[/tex] (normale)
[tex]ij=ik=jk=0[/tex] (ortogonale)
Produktene ovenfor er vanlige skalarprodukt.
For kvaternioner har vi andre regler for enhetsvektorene:
[tex]i^2=j^2=k^2=-1[/tex]
Istedenfor ortogonaliteten har man i tillegg følgende:
[tex]ijk=-1[/tex]
Det er viktig å huske at kvaternionene ikke nødvendigvis kommuterer. Tar vi f.eks. utgangspunkt i den siste likheten og multipliserer med -k fra høyre på begge sider av likhetstegnet, får vi
[tex]-ijk^2=ij=k[/tex]
Dette kan vi tenke på som kryssproduktet mellom enhetsvektorene langs x og y-aksen i vanlig tredimensjonalt rom: Vi vet jo at [tex]\vec{i}\times \vec{j}=\vec{k}[/tex] der [tex]\times[/tex] er vektor kryssproduktet. På samme måte er [tex]\vec{j}\times \vec{i} =-\vec{k}[/tex].
For kvaternioner blir det helt analogt: [tex]ji=-k[/tex] som kan vises fra reglene ovenfor. Vi har dermed sett at kvaternionene ikke kommuterer siden [tex]ij=k\neq -k=ji[/tex]
Kvarternioner kan adderes, skalarmultipliseres med reelle tall og multipliseres (kalles ofte Hamiltonprodukt eller kvaternionprodukt).
La p og q være to kvaternioner. Da skriver vi
[tex]p=p_s+p_v\\q=q_s+q_v [/tex]
der [tex]p_s[/tex] er den reelle delen og [tex]p_v[/tex] er den imaginære delen:
Eksempel:
[tex]p=a+xi+yj+zk\\q=b+ui+vj+wk[/tex]
Da er [tex]p_s=a\\p_v=xi+yj+zk[/tex] etc.
Hamiltonproduktet er pq=(a+xi+yj+zk)(b+ui+vj+wk) som ganges ut på vanlig måte.
Dette kan også skrives
[tex]pq=p_sq_s-p_v\cdot q_v+p_sq_v+q_sp_v+p_v\times q_v[/tex]
der [tex]\cdot[/tex] og [tex]\times[/tex] betegner prikk- og kryssprodukt som for vektorer i 3-dim. euklidsk rom.
Av dette ser vi at dersom kvaternionene p og q er rent imaginære og vektordelene er ortogonale, vil Hamiltonproduktet sammenfalle med kryssproduktet (siden prikkproduktet da vil være 0). Dette er i overensstemmelse med at [tex]ij=k[/tex].
Vi kan også definere konjugerte kvaternioner:
[tex]p^*=p_s-p_v[/tex] slik at absoluttverdien er
[tex]|p|^2=pp^*=p_sp_s^*-p_v\cdot p_v^*+p_sp_v^*+p_s^*p_v+p_v\times p_v^*[/tex].
Siden [tex] p_s^*=p_s, p_v^*=-p_v[/tex] og [tex]p_v\times p_v=0[/tex] får vi
[tex]|p|^2=p_s^2+p_v^2=a^2+(x^2+y^2+z^2)[/tex], altså lengden av en 4-dimensjonal euklidsk vektor kvadrert.
(Fra nå av dropper jeg bruken av [tex]\vec{i}[/tex] og skriver istedet [tex]i[/tex].)
I vanlig 3-dimensjonalt rom er enhetsvektorene [tex](i,j,k)[/tex] ortonormale (ortogonale+normerte), dvs at
[tex]i^2=j^2=k^2=1[/tex] (normale)
[tex]ij=ik=jk=0[/tex] (ortogonale)
Produktene ovenfor er vanlige skalarprodukt.
For kvaternioner har vi andre regler for enhetsvektorene:
[tex]i^2=j^2=k^2=-1[/tex]
Istedenfor ortogonaliteten har man i tillegg følgende:
[tex]ijk=-1[/tex]
Det er viktig å huske at kvaternionene ikke nødvendigvis kommuterer. Tar vi f.eks. utgangspunkt i den siste likheten og multipliserer med -k fra høyre på begge sider av likhetstegnet, får vi
[tex]-ijk^2=ij=k[/tex]
Dette kan vi tenke på som kryssproduktet mellom enhetsvektorene langs x og y-aksen i vanlig tredimensjonalt rom: Vi vet jo at [tex]\vec{i}\times \vec{j}=\vec{k}[/tex] der [tex]\times[/tex] er vektor kryssproduktet. På samme måte er [tex]\vec{j}\times \vec{i} =-\vec{k}[/tex].
For kvaternioner blir det helt analogt: [tex]ji=-k[/tex] som kan vises fra reglene ovenfor. Vi har dermed sett at kvaternionene ikke kommuterer siden [tex]ij=k\neq -k=ji[/tex]
Kvarternioner kan adderes, skalarmultipliseres med reelle tall og multipliseres (kalles ofte Hamiltonprodukt eller kvaternionprodukt).
La p og q være to kvaternioner. Da skriver vi
[tex]p=p_s+p_v\\q=q_s+q_v [/tex]
der [tex]p_s[/tex] er den reelle delen og [tex]p_v[/tex] er den imaginære delen:
Eksempel:
[tex]p=a+xi+yj+zk\\q=b+ui+vj+wk[/tex]
Da er [tex]p_s=a\\p_v=xi+yj+zk[/tex] etc.
Hamiltonproduktet er pq=(a+xi+yj+zk)(b+ui+vj+wk) som ganges ut på vanlig måte.
Dette kan også skrives
[tex]pq=p_sq_s-p_v\cdot q_v+p_sq_v+q_sp_v+p_v\times q_v[/tex]
der [tex]\cdot[/tex] og [tex]\times[/tex] betegner prikk- og kryssprodukt som for vektorer i 3-dim. euklidsk rom.
Av dette ser vi at dersom kvaternionene p og q er rent imaginære og vektordelene er ortogonale, vil Hamiltonproduktet sammenfalle med kryssproduktet (siden prikkproduktet da vil være 0). Dette er i overensstemmelse med at [tex]ij=k[/tex].
Vi kan også definere konjugerte kvaternioner:
[tex]p^*=p_s-p_v[/tex] slik at absoluttverdien er
[tex]|p|^2=pp^*=p_sp_s^*-p_v\cdot p_v^*+p_sp_v^*+p_s^*p_v+p_v\times p_v^*[/tex].
Siden [tex] p_s^*=p_s, p_v^*=-p_v[/tex] og [tex]p_v\times p_v=0[/tex] får vi
[tex]|p|^2=p_s^2+p_v^2=a^2+(x^2+y^2+z^2)[/tex], altså lengden av en 4-dimensjonal euklidsk vektor kvadrert.