projeksjon

[gill]

Beregn volumet av legemet som er begrenset
av flatene

[tex]z=4x^2+y^2[/tex] og [tex]z=4-3y^2[/tex]

Fasit sier:
Flatene skjærer hverandre når [tex]4x^2+y^2=4-3y^2[/tex]
dvs. for [tex]x^2 + y^2 = 1[/tex]
. Det betyr at
projeksjonen av legemet ned i xy-planet er sirkeldisken
D [tex]x^2 + y^2 < 1[/tex](eller lik). Vi regner ut volumet
ved hjelp av dobbeltintegral, og bruker polarkoordinater

Integralet blir [symbol:integral] [symbol:integral] z-topp-z-bunn dA

med r=1 og teta=2 [symbol:pi]

HVa mener de med projeksjon av legemet? De integrerer jo i planet når figuren opprinnelig er i rommet. Hva er det som skjer?

[Gustav]

Fasiten har tatt en liten snarvei. Du kan selvsagt trippelintegrere og hvis du først integrerer langs z-aksen, vil du få samme uttrykk som fasitens dobbeltintegral, dvs. dersom du benytter sylinderkoordinater.