Prøve Sinus X - Normalfordeling og statistikk

[Realist1]

Tid: 2 skoletimer
Hjelpemidler: Kun kalkulator og normalfordelingstabell
I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling

Oppgave 1
I denne oppgaven skal vi anta at hvilepulsen [tex]X[/tex] til menn er normalfordelt med en forventningsverdi på 66 og et standardavvik på 7.
a)
Vi trekker tilfeldig ut en mann. Hva er sannsynligheten for at mannens hvilepuls
(1) er lavere enn 70?
(2) er høyere enn 68?
(3) er mellom 60 og 70?

b)
Vi sier at de 10 % av mennene som har lavest hvilepuls har god kondisjon. Hvilken hvilepuls må en mann ha for at vi kan si at han har god kondisjon?

Oppgave 2
La [tex]X[/tex] være vekten av en tilfeldig valgt kurv jordbær, målt i gram. Vi antar at [tex]X[/tex] har forventningsverdi [tex]\mu = 470[/tex] og standardavvik [tex]\sigma = 30[/tex]. Lise kjøper en kasse med 10 tilfeldig valgte slike kurver. La [tex]S[/tex] være vekten av disse 10 kurvene.
a)
Finn forventningsverdien og standardavviket for [tex]S[/tex].
b)
Finn sannsynligheten for at [tex]S[/tex] er mellom 4,6 kg og 4,8 kg.
c)
Finn sannsynligheten for at [tex]S[/tex] er over 4,75 kg.

Oppgave 3
a)
Ved en sensurering av eksamensbesvarelser i matematikk ble først 144 tilfeldig valgte besvarelser forhåndssensurert. Gjennomsnittskarakteren i utvalget ble 3,38. Vi regner med at standardavviket er 0,40 for alle eksamensbesvarelsene.
Finn et konfidensintervall for gjennomsnittskarakteren med konfidensnivå 0,95.
b)
Ved en forhåndssensurering av eksamensbesvarelser i fysikk var gjennomsnittskarakteren 3,26 blant de tilfeldig valgte oppgavene. Vi regner med at standardavviket er 0,40 for alle eksamensbesvarelsene.
Hvor mange fysikkprøver ble forhåndssensurert når bredden på konfidensintervallet fra utvalget var 0,16? Bruk konfidensnivå 0,95.

Oppgave 4
Vi veier ferdig pakkede poser med poteter og finner disse vektene i kg
2,45 . . . 2,51 . . . 2,47 . . . 2,35 . . . 2,53
2,55 . . . 2,47 . . . 2,53 . . . 2,43 . . . 2,48

a)
Bruk lommeregneren og bestem empirisk gjennomsnitt og empirisk standardavvik.
b)
Finn et 95% konfidensintervall for forventet vekt av en slik potetsekk.
c)
Utenpå sekkene står det 2,5 kg. Kommenter.

Forholdsvis kort og grei prøve i dag, men langt fra et emne jeg er stødig på. Post gjerne løsningsforslag til noen oppgaver i denne tråden.

[Realist1]

Jess da, dette var en såkalt "vippeprøve" hvis eneste hensikt var å vippe folk opp eller ned, og siden jeg har vippet mellom 5 og 6 ble denne prøven avgjørende for hva jeg får på vitnemålet. Jeg måtte med andre ord få 6. Nå ser jeg at læreren har lagt ut karakteren på SkoleArena allerede, og jeg fikk faktisk 6, så jeg er meget happy.

Skal prøve å få lagt ut løsningsforslag i løpet av dagen hvis ingen andre har lyst til å lage noen.

[Dinithion]

Gratulerer med 6er. Det var vel fortjent

Når det kommer til oppgavene, så har jeg sett oppgave 1, 2 og 4 før, men husker ikke hvor. Kanskje i Matematikk 3MX (Formal og Fakta), Forkurs for Ingeniør og maritim (Eller hva den heter. Sinus bok) eller tidligere eksamener. Kurante oppgaver, men jeg tror ikke jeg skal forsøke å lage løsningsforslag. Det er over ett år siden jeg holdt på med sannsynlighet. Jeg BURDE derimot gjøre det

[lodve]

Grattis Realist1, du fortjente 6-eren

[Realist1]

Takk for det folkens.

Kjapt løsningsforslag (min besvarelse):

Oppgave 1
[tex]\mu = 66 \ \ \ \sigma = 7[/tex]

a)
(1)
[tex]P\left(X<70\right) = P\left(z<\frac{70-66}{7}\right) = P\left(z<0,571\right) = \underline{\underline{0,7157}}[/tex]
(2)
[tex]P\left(X>68\right) = 1-P\left(X<68\right) = 1-P\left(z<\frac{68-66}{7}\right) = 1-P\left(z<0,286\right) = 1-0,6124 = \underline{\underline{0,3876}}[/tex]
(3)
[tex]P\left(60<X<70\right) = P\left(z<\frac{70-66}{7}\right)-P\left(z<\frac{60-66}{7}\right) = 0,7157 - \Phi\left(-0,86\right) = 0,7157-0,1949 = \underline{\underline{0,5208}}[/tex]

b)
Vi ser at [tex]\Phi\left(-1,28\right) \approx 0,1[/tex]. Hvilepulsen må derfor være maksimalt:
[tex]X = 66-1,28\cdot 7 = 57,04 \approx 57[/tex]
- for at vi kan si han har en god hvilepuls.

Oppgave 2
[tex]\mu = 470 \ \ \ \sigma = 30[/tex]

a)
[tex]E\left(S\right) = n\cdot \mu = 10 \cdot 470 = \underline{\underline{4700 \ gram}}[/tex]
[tex]\sigma _S = \sqrt{n} \cdot \sigma = \sqrt{10} \cdot 30 = \underline{\underline{94,87 \ gram}}[/tex]

b)
[tex]P\left(4600 < S < 4800\right) = P\left( z<\frac{4800-4700}{94,87}\right) - P\left(z<\frac{4600-4700}{94,87}\right) = P\left(z<1,054\right)-P\left(z<-1,054\right) = 0,8540-0,1450 = \underline{\underline{0,7090}}[/tex]

c)
[tex]P\left(S>4750\right) = 1-P\left(S<4750\right) = 1-P\left(z<\frac{4750-4700}{94,87}\right) = 1-P\left(z<0,527\right) = 1-0,7009 = \underline{\underline{0,2991}}[/tex]

Oppgave 3
a)
[tex]n=144 \ \ \ \overline{X} = 3,38 \ \ \ \sigma = 0,40[/tex]
Et konfidensnivå på 0,94 gjør at 0,03 utelates på hver side. Må altså finne en [tex]\Phi[/tex] som er 0,97. Dette stemmer bra for [tex]z=1,88[/tex].
Konfidensintervallet blir da:
[tex]\left\langle \overline{X} - z\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{X}+z\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\rangle \ \Rightarrow \ \left\langle 3,38 - 1,88\cdot \frac{0,40}{12} \ , \ 3,38 + 1,88 \cdot \frac{0,40}{12}\right\rangle \ \Rightarrow \ \underline{\underline{\left\langle 3,3173 \ , \ 3,4426\right\rangle}}[/tex]

b)
[tex]\overline{X} = 3,26 \ \ \ \sigma=0,40 \ \ \ z = 1,88[/tex]

[tex]\left(\overline{X} + z\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) - \left(\overline{X} - z\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \frac{2z\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2 \cdot 1,88 \cdot 0,40}{\sqrt{n}} = 0,16 \\ \Rightarrow \ \underline{\underline{n=88,36}}[/tex]

[tex]n=88[/tex] gir bredde på 0,1603, mens [tex]n=89[/tex] gir bredde på 0,1595. Det var 88 fysikkeksamener som var blitt sensurert.
(Læreren skrev "89" med rød penn ved siden av, men jeg fikk full pott. Tydeligvis velg og vrak som gjelder her)

Oppgave 4
a)
[tex]\overline{X} = \frac{2,45+2,51+2,47+2,35+2,53+2,55+2,47+2,53+2,43+2,48}{10} = \underline{\underline{2,477 \ kg}}[/tex]

[tex]\sigma = \sqrt{\frac{\sum^{10}_{i=1}\left(X_i - 2,48\right)^2}{9}} = \sqrt{\frac{0,0313}{9}} = \underline{\underline{0,059 \ kg}}[/tex]

b)
På STAT-menyen på kalkulatoren legger jeg inn de 10 verdiene for vekt av poteter i List 1. Trykker så på F4 (INTR), F2 (t) og F1 (1-s). Fyller ut slik:

Code: Select all

Data - List
C-Level - 0,95
List - List 1
Freq - 1

og trykker deretter EXE. Får her konfidensintervallet [tex]\underline{\underline{\left\langle 2,4348 \ , \ 2,5191 \right\rangle}}[/tex], samt en bekreftelse på at oppgave a) er gjort riktig.

c)
Den forventete vekten er så vidt lavere enn 2,5 kg, men den reklamerte vekten er godt innenfor konfidensintervallet, så det er ingen grunn til å klage.


Jeg vet nå ikke hvor mange som egentlig for bruk for dette her, men det er nå blitt en vane å legge ut prøvene mine...