Ulikhet

[leif_juster]

Vis at for alle naturlige tall n er

[tex]1+\frac1sqrt2+\frac1sqrt3+...+\frac1sqrt{n}>2(sqrt{n+1}-1)[/tex]

[mrcreosote]

La venstresida være et estimat for et integral.

[leif_juster]

Har ikke vært borte i noe sånt. Oppgava hører under temaet induksjon.

[tisstrange]

Vis at for alle naturlige tall n er

[tex]1+\frac1sqrt2+\frac1sqrt3+...+\frac1sqrt{n}>2(sqrt{n+1}-1)[/tex]

Begynn med initialbetingelsen:
for n=1:
[tex]1 >2(sqrt{2}-1) = 0.82[/tex] dette stemmer.

Nå anta du at
[tex]1+\frac1sqrt2+\frac1sqrt3+...+\frac1sqrt{n}>2(sqrt{n+1}-1)[/tex] stemmer for n, og ser om dette impliserer at det også stemmer for n+1... Ser du det nå?

[leif_juster]

[tex]1+\frac1sqrt2+\frac1sqrt3+...+\frac1sqrt{n}+\frac1sqrt{n+1}>2(sqrt{n+1}-1)+\frac1sqrt{n+1}=[/tex]?

Får ikke noen mening når jeg trekker sammen høyre side.

[tisstrange]

[tex]1+\frac1sqrt2+\frac1sqrt3+...+\frac1sqrt{n}+\frac1sqrt{n+1}>2(sqrt{n+1}-1)+\frac1sqrt{n+1}=[/tex]?

Får ikke noen mening når jeg trekker sammen høyre side.

Du skal erstatte n med n+1 på begge sider. det blir da:
[tex]1+\frac1sqrt2+\frac1sqrt3+...+\frac1sqrt{n}+\frac1sqrt{n+1}>2(sqrt{n+1+1}-1)[/tex]
Eller:
[tex]\frac1sqrt{n+1}>2(sqrt{n+2}-1) - 2(sqrt{n+1}-1)[/tex]
tar du resten?

[leif_juster]

[tex]\frac1sqrt{n+1}>2(sqrt{n+1}-1)-2(sqrt{n+1}-1)=2(sqrt{n+2}-sqrt{n+1})[/tex]

Ganger teller og nevner med [tex]sqrt{n+2}+sqrt{n+1}[/tex]

videre får jeg:

[tex]\frac1sqrt{n+1}>\frac2{sqrt{n+2}+sqrt{n+1}}\Leftrightarrow\frac2{sqrt{n+1}+sqrt{n+1}}>\frac2{sqrt{n+2}+sqrt{n+1}}[/tex]

Stemmer dette eller er jeg helt på jordet

[tisstrange]

Veldig bra, da er det vist