Bevis i difflikningen y``+k^2*y=0

[gabri3l90]

For likningen y``+k^2*y=0 har vi løsningsformelen
Y=A*sin kx+B*cos kx

Er det noen her som klarer å bevise hvorfor denne løsningsfomelen er som den er.

[Andreas345]

Difflikningen [tex]y\prime \prime +k^2\cdot y=0[/tex]

Har den karakteristiske løsningen:

[tex]r^2+k^2=0[/tex]

[tex]r^2=-k^2[/tex]

[tex]r=sqrt {k^2}\cdot sqrt {-1}[/tex]

[tex]r=\pm ki[/tex]

Som gir den generelle løsningen:

[tex]y=A\cdot sin(kx)+B\cdot cos(kx)[/tex]

[gabri3l90]

Skjønner at jeg ikke har de mattekunnskapene som de fleste he rinne, for det der forstod jeg ikek alt for mye av. Har muntlig i morgen, så tenkte jeg skulle prøve å forklare hvorfor formelen er som den er, men det kan jeg tydligvis bare glemme. hehe

[meCarnival]

Hørt om komplekse og imagniære tall?

[gabri3l90]

ja.

[gabri3l90]

Jeg trodde det var slik at vi vi bare fikk en løsning så ble svaret:
y=e^rx*(Ax+B)

[gabri3l90]

Vet jeg er veldig ivrig nå, men nå tror jeg at jeg forstod det.
For når vi har to komplekse løsninger gitt som p+- iq:
y=e^px(A*sin qx+ B *cos qx)

Så når r=+- iq kan man skrive det som r= 0+-ki og dermed få svaret
e^0(A* sin kx + B* Cos kx)
Og siden e^0=1 blir da det endelig svaret:
(A* sin kx + B* Cos kx)

Er det slik man løser det?

[Andreas345]

Ja, stemmer. Jeg hoppet bare over det leddet i min løsning.

[ettam]

gabri3l90: Sikter du på 6-eren i morgen!?!

[mariush]

hm, luker muntlig eksamen her!

Selv gjorde jeg følgende:
1) Viste hvor vi har den karakteristiske likninga fra (setter inn y=e^rx i den originale homogene andreordens difflikninga med konstante koeffisienter). Da ser man at funksjonen y(x)=e^rx kun tilfredsstiller difflikninga når r er røttene til likninga r^2 +pr +q = 0

2) Så på tilfellet hvor den karakteristiske likninga hadde to komplekse røtter (med både real- og imaginærdel, mao. når 0<q^2 < 4k), og viste at når man anvende definisjonen for e^z-uttrykk, kan det skrives som sum av cos og sin. Til slutt implementerte jeg to konstanter (komplekse tall som konjugerer hverandre), slik at jeg fikk et uttrykk på formen y=Ae^r1x+Be^r2x

3) Så på hvordan man kunne moddelere fjærsvningninger med luftmotstand proposjonal med hastigheten med disse likningene.

Holdt til 6'er

[wingeer]

Er ikke beviset ganske algebraisk?
Man får, ut av den karakteristiske løsningen, at [tex]x=p\pm iq[/tex]
Så fyller man dette inn for [tex]y=Ce^{rx} + De^{rx}[/tex]
Og når man løser dette ved hjelp av Eulers ligning og trigonometriske omskrivninger vil man til slutt sitte igjen med:
[tex]y=e^{px}(Asin(qx)+Bcos(qx))[/tex]