Volum av kule

Her kan du stille spørsmål om oppgaver i matematikk på ungdomsskole og barneskole nivå. Alle som føler at de kan bidra er velkommen til å svare.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

matteN00B
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 5
Joined: 17/06-2009 12:49

Hvordan kan jeg finne volum av en kule?

Diameteren er på 15 cm.

Trenger det til muntlig eksamen i morgen...
Kukaka
Cantor
Cantor
Posts: 115
Joined: 11/04-2008 16:07
Location: Hamar

Care to explain? ; ) HVORFOR er formelen som den er? ;o
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Formelen for volum av en kule kan regnes ut vha trippelintegraler og kulekoordinater:

Volumet er gitt ved
V=R1dxdydz

Hvor R er en kule med radius r. Vi kan skifte til kulekoordinater ved følgende substitusjon:
x=rsinϕcosθy=rsinϕcosθz=rcosϕ
Med Jacobi-determinant:
r2sinϕ
Altså dxydydz=r2sinϕdθdϕdr

Integralet blir nå
V=0r0π02πr2sinϕdθdϕdr
0rr2dr02π0πsinϕdϕ=r332ϕ[cosϕ]0π=4πr33
Finito.

Finnes mer forståelige måter å regne dette ut på også. F.eks ved å regne ut arealet til et omdreiningslegeme.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Realist1
Euclid
Euclid
Posts: 1993
Joined: 30/01-2007 20:39

Hehe. Tror nok at inntil videre er det best å bare godta at formelen er slik den er.
Kukaka
Cantor
Cantor
Posts: 115
Joined: 11/04-2008 16:07
Location: Hamar

For å forstå det der må jeg lære integraler og trigonometri med komplekse tall? ;o Am I right? :D For den der har jeg lurt på utrolig lenge! x)
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Komplekse tall har ingenting med saken å gjøre. Dette er et trippelintegral hvor du integrerer i rommet ("vanligvis" integrerer man på tallinjen, altså i én dimensjon).
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Kukaka
Cantor
Cantor
Posts: 115
Joined: 11/04-2008 16:07
Location: Hamar

aah, syntes bare den [symbol:tom] -greia lignet på det tegnet jeg tror du bruker med komplekse tall : D (theta elns? Det du lager elliptiske grafer med hvertfall :))
Markonan
Euclid
Euclid
Posts: 2136
Joined: 24/11-2006 19:26
Location: Oslo

Theta: θ

Phi: ϕ

Kan også ses ved å holde musen over LaTeX-tegnet. :)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Kukaka
Cantor
Cantor
Posts: 115
Joined: 11/04-2008 16:07
Location: Hamar

aah : D phi er d samme som 2,7... ikkesant? : D hehe ^^
edahl
Cantor
Cantor
Posts: 142
Joined: 23/12-2008 19:32

Kukaka wrote:aah : D phi er d samme som 2,7... ikkesant? : D hehe ^^
Nø, det er e det. Phi brukes ofte for å angi 'det gyldne snitt', eller
1+52=1.618
Kukaka
Cantor
Cantor
Posts: 115
Joined: 11/04-2008 16:07
Location: Hamar

ååja, stemmer det! x) haha, har hørt det før engang! xD
FredrikM
Poincare
Poincare
Posts: 1367
Joined: 28/08-2007 20:39
Location: Oslo
Contact:

Men ϕ her har ingenting med det gylne snitt å gjøre. Her er ϕ en variabel på linje med x og y, osv.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
edahl
Cantor
Cantor
Posts: 142
Joined: 23/12-2008 19:32

FredrikM wrote:Men ϕ her har ingenting med det gylne snitt å gjøre. Her er ϕ en variabel på linje med x og y, osv.
Ja, det er vel stort sett det, men han snakket om 'universelle' konstanter og jeg har faktisk ganske ofte sett ϕ bli brukt til det gylne snitt.

Uansett Kukaka, så er det lurt å først og fremst huske at de fleste bokstaver er variable (eller konstante, ikke som i e og pi, men i f.eks. y=ax er a konstant) 'til det motsatte er bevist,' så hvis du ser en bokstav du ikke kjenner; fortvil ikke. En kunne klart seg fint uten å bruke ϕ som en vinkel, men etterhvert blir det en fin konvensjon at f.eks. ϕ/θ osv. angir en vinkel, så blir en ledet innpå riktig tankegang. Jeg tviler på at noen vil bruke ϕ som det gyldne snitt, eller de fleste andre konstanter uten å si det eksplisitt, mens de eneste unntak er nok kanskje π og e.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Sjelden man bruke det gyldne snitt, men vinkler går det mye av.

I kalkulus brukes vanligvis θ som vinkelen i polarkoordinater og sylinderkoordinater. I kulekoordinater trengs enda en vinkel, og mange bruker ϕ som vinkelen mot z-aksen. θ brukes der om vinkelen mot x-aksen.

Man kan spørre seg hvorfor dette er blitt konvensjon. Logisk sett ville det vært naturlig å bruke χ, ψ og ω som henholdsvis vinkler med x- , y- og z-aksen siden disse er de tre siste bokstavene i det greske alfabetet og sammenfaller således med x,y,z.
Post Reply