Volum av kule

[matteN00B]

Hvordan kan jeg finne volum av en kule?

Diameteren er på 15 cm.

Trenger det til muntlig eksamen i morgen...

[Andreas345]

http://www.matematikk.net/klassetrinn/k ... triIII.php

[Kukaka]

Care to explain? ; ) HVORFOR er formelen som den er? ;o

[FredrikM]

Formelen for volum av en kule kan regnes ut vha trippelintegraler og kulekoordinater:

Volumet er gitt ved
$V={\iiint }_{R}1dxdydz$

Hvor R er en kule med radius r. Vi kan skifte til kulekoordinater ved følgende substitusjon:
$$\begin{gathered} x=r\sin \varphi \cos \theta \\ y=r\sin \varphi \cos \theta \\ z=r\cos \varphi \end{gathered}$$
Med Jacobi-determinant:
$r^2\sin \varphi$
Altså $dxydydz=r^2\sin \varphi d\theta d\varphi dr$

Integralet blir nå
$V={\int }_0^r{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{r}^2\sin \varphi d\theta d\varphi dr$
${\int }_0^r{r}^{2}dr{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi =\frac{r^3}{3}\cdot 2\varphi \cdot [-\cos \varphi {]}_0^{\pi }=\frac{4\pi r^3}{3}$
Finito.

Finnes mer forståelige måter å regne dette ut på også. F.eks ved å regne ut arealet til et omdreiningslegeme.

[Realist1]

Hehe. Tror nok at inntil videre er det best å bare godta at formelen er slik den er.

[Kukaka]

For å forstå det der må jeg lære integraler og trigonometri med komplekse tall? ;o Am I right? For den der har jeg lurt på utrolig lenge! x)

[FredrikM]

Komplekse tall har ingenting med saken å gjøre. Dette er et trippelintegral hvor du integrerer i rommet ("vanligvis" integrerer man på tallinjen, altså i én dimensjon).

[Kukaka]

aah, syntes bare den [symbol:tom] -greia lignet på det tegnet jeg tror du bruker med komplekse tall : D (theta elns? Det du lager elliptiske grafer med hvertfall )

[Markonan]

Theta: $\theta$

Phi: $\varphi$

Kan også ses ved å holde musen over LaTeX-tegnet.

[Kukaka]

aah : D phi er d samme som 2,7... ikkesant? : D hehe ^^

[edahl]

aah : D phi er d samme som 2,7... ikkesant? : D hehe ^^

Nø, det er $e$ det. Phi brukes ofte for å angi 'det gyldne snitt', eller
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618\dots$

[Kukaka]

ååja, stemmer det! x) haha, har hørt det før engang! xD

[FredrikM]

Men $\varphi$ her har ingenting med det gylne snitt å gjøre. Her er $\varphi$ en variabel på linje med x og y, osv.

[edahl]

Men $\varphi$ her har ingenting med det gylne snitt å gjøre. Her er $\varphi$ en variabel på linje med x og y, osv.

Ja, det er vel stort sett det, men han snakket om 'universelle' konstanter og jeg har faktisk ganske ofte sett $\varphi$ bli brukt til det gylne snitt.

Uansett Kukaka, så er det lurt å først og fremst huske at de fleste bokstaver er variable (eller konstante, ikke som i e og pi, men i f.eks. y=ax er a konstant) 'til det motsatte er bevist,' så hvis du ser en bokstav du ikke kjenner; fortvil ikke. En kunne klart seg fint uten å bruke $\varphi$ som en vinkel, men etterhvert blir det en fin konvensjon at f.eks. $\varphi /\theta$ osv. angir en vinkel, så blir en ledet innpå riktig tankegang. Jeg tviler på at noen vil bruke $\varphi$ som det gyldne snitt, eller de fleste andre konstanter uten å si det eksplisitt, mens de eneste unntak er nok kanskje $\pi$ og $e$.

[Gustav]

Sjelden man bruke det gyldne snitt, men vinkler går det mye av.

I kalkulus brukes vanligvis $\theta$ som vinkelen i polarkoordinater og sylinderkoordinater. I kulekoordinater trengs enda en vinkel, og mange bruker $\varphi$ som vinkelen mot z-aksen. $\theta$ brukes der om vinkelen mot x-aksen.

Man kan spørre seg hvorfor dette er blitt konvensjon. Logisk sett ville det vært naturlig å bruke $\chi$, $\psi$ og $\omega$ som henholdsvis vinkler med x- , y- og z-aksen siden disse er de tre siste bokstavene i det greske alfabetet og sammenfaller således med x,y,z.