Bevis for alternativ definisjon av Zeta-funksjonen.

[edahl]

EDIT n millioner:
Beviset er i noen innlegg under. Uff, dette ble en rotete tråd fra min side

[Charlatan]

Du kan nok ikke induktere mhp n her. n går mot uendelig når man trekker grensen så det gir ingen mening å anta at grenseverdien stemmer for en gitt n. Induksjonsvariabelen du eventuelt må bruke er s.

[edahl]

Du kan nok ikke induktere mhp n her. n går mot uendelig når man trekker grensen så det gir ingen mening å anta at grenseverdien stemmer for en gitt n. Induksjonsvariabelen du eventuelt må bruke er s.

Pokker. Tenkte meg noe slikt. Vil det si at du ikke kan ta grensen på naturlige tall at all? Hvis en kan jeg si at
$\zeta (s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{t=1}^n{t}^s,$
og så vise at
$\sum _{t=1}^n{k}^{-s}=\frac{a_n}{n{!}^s},$
så må vel også grenseverdien være den samme?

EDIT:
Det jeg har kommet frem til er forøvrig at
$\zeta (s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{!}^{-s}\sum _{k=0}^{n-1}{(k!n^{\underset{―}{n-k-1}})}^s$

[Charlatan]

Pokker. Tenkte meg noe slikt. Vil det si at du ikke kan ta grensen på naturlige tall at all? Hvis en kan jeg si at
$\zeta (s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{t=1}^n{t}^s,$
og så vise at
$\sum _{t=1}^n{k}^{-s}=\frac{a_n}{n{!}^s},$
så må vel også grenseverdien være den samme?

Ja, det stemmer.

[edahl]

EDIT:
Her er hele skiten. Beklager at det er på engelsk, men jeg skrev det på engelsk og da ble det slik. Ja, også var det slik at jeg setter pris på både stor og liten pirking og omvelting

Let's first look at the recurrence

Then
$\zeta (s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n{!}^s}.$
$$\text{Unknown environment 'proof'}$$

Now, we will want to find a solution to $\{a_n\}$, and we shall show that
$\sum _{0\le k<n}{(k!n^{\underset{―}{n-k-1}})}^s,$
is a solution to the recurrence where $n^{\underset{―}{m}}\equiv n(n-1)\dots (n-m+1),n^{\underset{―}{0}}=1.$
By subsitution the identity then becomes
$\zeta (s)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{!}^{-s}\sum _{0\le k<n}{(k!n^{\underset{―}{n-k-1}})}^s.$

$$\text{Unknown environment 'proof'}$$

[Markonan]

Verbformen til induksjon blir forresten å indusere.

[edahl]

Verbformen til induksjon blir forresten å indusere.

Heh, det har jeg ikke tenkt på før så jeg har faktisk aldri brukt det for 'induksjon'

Men holder beviset da?

[edahl]

Verbformen til induksjon blir forresten å indusere.

Heh, det har jeg ikke tenkt på før så jeg har faktisk aldri brukt det for 'induksjon'

Men holder beviset da?

Vent litt! Jeg har et skikkelig og algebraisk bevis for identiteten nå:
Observer at $\frac{m!}{n!}=n{!}^{\underset{―}{n-m}},\text{for n < m}$ og at $n^{\underset{―}{n-k-1}}=\frac{(k+1)!}{n!}$
Dermed er
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{0\le k<n}{\left(\frac{k!n^{\underset{―}{n-k-1}}}{n!}\right)}^s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{0\le k<n}{\left(\frac{\frac{\cancel{k!}(k+1)}{\cancel{k!}\cancel{n!}}}{\cancel{n!}}\right)}^s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{0\le k<n}{\left(\frac{1}{k+1}\right)}^s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{1\le k\le n}{\left(\frac{1}{k}\right)}^s=\zeta (s).$
Hvis DEN ikke holder vet jeg ikke hva gjør

EDIT: Tråd nr. 100 ..!