Diofantiske ligninger ;o

[Kukaka]

Leser på diofantiske ligninger nå, men skjønner ikke hva pokkerivold boka driver med! Har prøvd google + per, men fant ikke svar på d jeg lurte på!

[tex]5x+7y=29[/tex]

--> Euklidalgoritmen -->

[tex]5\times 87+7\times \left ( -58 \right )=29[/tex]

Men både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] skal være positive.

Så tilsynelatende helt random:
La [tex]n[/tex] være et helt tall og la
[tex]x=87-7n[/tex]
[tex]y=-58+5n[/tex]

Hvor kommer dette fra?

[Realist1]

Løser likningen for deg steg for steg jeg.

[tex]5x + 7y = 29 [/tex]

5 og 7 er primtall, altså er sfd=1.
29|1 => ligningen går altså opp.

Oki, da starter vi.

[tex]7 - 1\cdot 5 = 2 \\ 5 - 2\cdot 2 = 1 \\ 2 - 2\cdot 1 = 0[/tex]

Baklengs:

[tex]5 - 2\cdot 2 = 1 \\ 5 - 2\cdot(7 - 1\cdot 5) = 1 \\ 3 \cdot 5 - 2\cdot 7 = 1[/tex]

Oki, da har vi uttrykt sfd ved hjelp av 5 og 7. For å få 29, må vi gange sfd med, selvfølgelig, 29.

[tex]3\cdot 5 - 2\cdot 7 = 1 \ \ \ |\cdot 29 \\ \ \\ 87 \cdot 5 - 58\cdot 7 = 29[/tex]

Som du helt riktig har kommet frem til.
Da har vi én løsning av ligningen, nemlig:

[tex]x_0 = 87[/tex] og [tex]y_0 = -58[/tex]

Alle andre løsninger av ligningen er da gitt som:

[tex]x = 87 - \frac{7}{1}\cdot n \\ \ \\ y = -58 + \frac{5}{1}\cdot n[/tex]
der n er et helt tall. Siden både x og y skal være større enn null får vi følgende ulikheter:

[tex]87-7n \geq 0[/tex] og [tex]-58+5n \geq 0[/tex]

Dette gir: [tex]7n \leq 87[/tex] og [tex]5n \geq 58[/tex]

Altså: [tex]n \leq 12,4[/tex] og [tex]n \geq 11,6[/tex]

Siden n må være et helt tall, betyr dette at n=12.

Setter det inn i den generelle løsningen:
[tex]x = 87 - 7\cdot 12 = 3 \\ \ \\ y = -58 + 5\cdot 12 = 2[/tex]

Der er svaret. x = 3 og y = 2.

Hvis noe er uklart, bare spør. Ser ut til at du kanskje har gått glipp av den generelle løsningen. Jeg siterer fra Sinus X, side 34:

La [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] være hele tall og la

[tex]d = sfd(a,b)[/tex]

Den diofantiske likningen

[tex]ax+by=c[/tex]

har heltallige løsninger hvis og bare hvis [tex]d[/tex] går opp i tallet [tex]c[/tex].

Hvis [tex]x=x_0[/tex] og [tex]y=y_0[/tex] er en løsning av likningen, er alle de andre løsningene gitt ved

[tex]x = x_0 - \frac{b}{d}\cdot n \\ \ \\ y = y_0 + \frac{a}{d}\cdot n[/tex]

der [tex]n[/tex] er et helt tall.

[Kukaka]

;oo Gikk glipp av s. 34 fant jeg ut! Takk for hjelpen! :) Kan hende jeg spør noe mer, for er veldig mye informasjon der på kort tid, men finner ut av det! : )

[Kukaka]

Hvis [tex]x=x_0[/tex] og [tex]y=y_0[/tex] er en løsning av likningen, er alle de andre løsningene gitt ved

[tex]x = x_0 - \frac{b}{d}\cdot n \\ \ \\ y = y_0 + \frac{a}{d}\cdot n[/tex]

der [tex]n[/tex] er et helt tall.

Skjønner fortsatt ikke hvor det der kommer fra! :( hjelpe litt til? (a)

[Realist1]

De kommer fra side 34 i Sinus X-boken!

[Kukaka]

Hjelper meg lite! : D Tenkte mer i retning bevis! For det finner jeg ikke i Sinus X! :(

[Gustav]

Bevis:

Anta [tex] (x,y)\in \mathbb{Z^2}[/tex] slik at [tex]ax+by=c[/tex]

La [tex]sfd(a,b)=d[/tex]

Har at [tex]ax+by=ax+\frac{abn}{d}-\frac{abn}{d}+by=a(x+\frac{bn}{d})+b(y-\frac{an}{b})=c[/tex]

Derfor er [tex](x+\frac{bn}{d},y-\frac{an}{d})[/tex] løsning for alle heltall [tex]n[/tex].

[Kukaka]

Hva betyr?[tex]\mathbb{Z^2}[/tex] takk! : D

[Emilga]

[tex](x,y)\in \mathbb{Z^2}[/tex] betyr bare at x og y er rasjonelle tall.

[Gustav]

[tex](x,y)\in \mathbb{Z^2}[/tex] betyr bare at x og y er rasjonelle tall.

Heltall mener du:)

[Kukaka]

Tenkte meg noe sånt ja, men har aldri sett 2-tallet brukt sammen med Z'en? ;o

Hva er forskjellen på [tex]\mathbb{Z^2}[/tex] og [tex]\mathbb{Z}[/tex]?

[Vektormannen]

[tex]\mathbb{Z}^2[/tex] er mengden av alle tallpar (x,y) der x og y er med i [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Sagt på en annen måte er [tex]Z^2[/tex] det kartesiske produktet [tex]\mathbb{Z}^2 = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex]. Det kartesiske produktet av to eller flere mengder er en mengde med par av alle mulige kombinasjoner av elementer fra mengdene. Dette kan du lese mer om her.

(Du kan se for deg [tex]Z^2[/tex] i et koordinatsystem med to akser med kun heltallige verdier. Punktene i dette systemet vil jo være kombinasjoner av alle mulige x- og y-verdier. [tex]Z^2[/tex] er altså alle disse punktene til sammen.)

[Kukaka]

Da skjønte jeg alt! : D Takk for hjelpen dere! : ) Umulig å huske slike generelle løsninger når en ikke vet hvorfor de er som de er! (for meg hvertfall! xD)