Matematisk resonnement |xy|=|x||y|

[Betelgeuse]

Hei jeg hadde en oppgave hvor jeg skulle vise at |xy| = |x||y| og jeg tenkte at jeg skulle høre om noen hadde noen invendinger på om måten jeg går frem for å vise dette er riktig. Har ikke så mye erfaring med å føre slike matematiske resonementer så all konstruktiv kritikk jeg kan få er nyttig.

Jeg gjorde dette slik;

Vi har tre situasjoner:

1. hvis x<0 og y>0 har vi

xy<0 som gir per definisjon |xy|=-xy

eller |x|=-x og |y|=y som gir |x||y|=-xy

Denne egenskapen er komutattiv så vi får samme resultat med x>0 og y<0.

2. Hvis derimot x>0 og y>0 så har vi at |x|=x og |y|=y som gir

|x||y|=xy eller

xy>0 som gir at |xy|=xy

3. x<0 og y<0 så har vi at |x|=-x og |y|=-y som gir

|x||y|=(-x)(-y)=xy og

eller |xy|=xy siden xy>0

Og fordi |xy|=|x||y| for situasjon 1,2 og 3 så tror jeg nå at jeg har vist at |xy|=|x||y|?

[Gommle]

Du kan vise det direkte:

[tex]|ab| = \sqrt{(ab)^2} = \sqrt{a^2 b^2}=\sqrt{a^2}\sqrt{b^2} = |a|\cdot|b|[/tex]

[Betelgeuse]

Åh.. det var så enkelt. Yes, men da lærte jeg det Takker og bukker.

[Karl_Erik]

Selv om Gommles bevis nok er en del enklere er beviset ditt fint det og absolutt gyldig om du tar med et par tilfeller til. Akkurat nå er ulikhetene dine strenge (dvs at de betyr strengt større/mindre enn og ikke større/mindre enn eller lik), så beviset ditt dekker ikke tilfellene der x eller y er lik 0. Det er nokså trivielt å vise at likheten holder også da, men det bør være med om man ikke ønsker å la sensor trekke ett poeng for noe som er helt utrolig irriterende om man som deg ellers har gjennomført et fint bevis.

[193]

Du kan vise det direkte:

[tex]|ab| = \sqrt{(ab)^2} = \sqrt{a^2 b^2}=\sqrt{a^2}\sqrt{b^2} = |a|\cdot|b|[/tex]

Har man her definert multiplikasjon mellom kvadratrøtter av komplekse tall? Man vet f.eks. at [tex]sqrt(-1)*sqrt(-1)=-1[/tex]. Således ville det være galt å bruke regelen [tex]sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b)[/tex] til å hevde at [tex]sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(-1*-1)=sqrt(1)=1[/tex].