Andregradspolynom og dobbeltrot

[Betelgeuse]

Vis at dersom andregradslinkingen [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] bare har en rot r, så er [tex]ax^2+bx+c=a(x-r)^2[/tex], dvs at r er en dobbelrot i linkingen.

Er det noen som vet hvordan man kan vise dette ordentlig?

[Gustav]

Siden [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] har en rot, si [tex]r[/tex], vil [tex]ax^2+bx+c=P(x)(x-r)[/tex] for et polynom [tex] P(x)[/tex].

Åpenbart vil graden av [tex] P(x)[/tex] være mindre enn [tex]2[/tex] så [tex]P(x)=dx+e[/tex].

Sammenligning av koeffisientene([tex]x^2[/tex], [tex]x[/tex] og [tex]1[/tex] er lineært uavhengige) gir at [tex]d=a[/tex].

Siden polynomet kun har én rot, og [tex]\frac{-e}{a}[/tex] er et nullpunkt for P(x), vil vi måtte ha at [tex] \frac{e}{a}=-r[/tex].

Dette gir at [tex]P(x)=ax-ar=a(x-r)[/tex].

Konklusjon: [tex]ax^2+bx+c=P(x)(x-r)=a(x-r)(x-r)=a(x-r)^2[/tex]

[Betelgeuse]

Jeg takker for svar plutarco Skjønner det dog ikke helt enda.

Sammenligning av koeffisientene(x^2, x og 1 er lineært uavhengige) gir at d=a.

Kan du utdype dette litt? Jeg må innrømme jeg ikke er helt sikker på hva lineær uavhengighet betyr.

[Gustav]

Lin.uavhengighet betyr at ligninga

[tex]c_1+c_2x+c_3x^2=0[/tex] impliserer

[tex]c_1=c_2=c_3=0[/tex].

Bevis:

Likheten må gjelde for alle verdier av [tex]x[/tex].

Derfor kan vi sette [tex]x=0[/tex] og får at [tex]c_1=0[/tex].

Videre kan vi derivere begge sider og utføre samme prosedyre for å vise at de andre konstantene må være 0.



PS: Kan også vise at f.eks. sin(x) og cos(x) er lin.uavhengig:

[tex]c\sin(x)+d\cos(x)=0 [/tex].

Setter x=0 og får [tex]d\cos(0)=d=0[/tex].

Da er [tex]c\sin(x)=0[/tex] og det impliserer at [tex]c=0[/tex]