Integrasjonsproblem

[krje1980]

Hei.

Hvordan integreres følgende uttrykk:

(2^( [symbol:rot] x))/( [symbol:rot] x)

Altså: Vi har en brøk. Teller er 2 opphøyd i kvadratroten av x. Nevner er kvadratroten av x.

Har prøvd å bruke både substitusjon og delvis integrasjon men roter meg alltid inn i en fæl haug av ln-uttrykk som jeg ikke kan integrere.

[Gustav]

La [tex]u=\sqrt{x}[/tex].

Da er [tex] 2du=\frac{1}{\sqrt{x}}dx[/tex]

Følgelig er

[tex]\int\frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx=\int 2^{u+1}\,du[/tex]

Bruk at [tex]2^u=e^{ln(2^u)}=e^{uln(2)}[/tex]

Setter man [tex]v=uln(2)[/tex] får man følgelig at [tex]dv=ln(2)du[/tex].

Følgelig blir [tex]\int 2^{u+1}\,du=\frac{2}{ln(2)}\int e^v\,dv=\frac{2}{ln(2)}e^v=\frac{2}{ln(2)}e^{uln(2)}=\frac{2}{ln(2)}e^{\sqrt{x}ln(2)}[/tex]

[krje1980]

Hei.

Jeg klarte faktisk oppgaven 10 minutter etter at jeg opprettet tema her . Men takk så mye for at du kom med løsningsforslag! Her er mitt forslag:

Akkurat som deg begynte jeg med at u = [symbol:rot] x.

Videre får jeg da at du/dx =(1/2)x^(-1/2), altså at du/dx = 1/2 [symbol:rot] x

Dette gir videre at dx = 2 [symbol:rot] x du, som igjen gir at 2du = 1/ [symbol:rot] x dx

Integralet består av multiplikasjonen 2^ [symbol:rot] x * 1/ [symbol:rot] x. Dette kan nå skrives som 2^u * 2 du, som, når integrert, gir 2/ln2 * 2^u.

Til slutt setter jeg inn for u og får 2/ln2 * 2^ [symbol:rot] x, som også stemmer med fasit .

[meCarnival]

Det er vel og vanlig å sette nevneren som u, eller deler av den, så sant det ikke er delbrøkoppspalting på gang =P