Epsilon delta
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Først den strengt rigorøse definisjonen som du sikkert har sett før:
Vi sier at en funksjon f går mot L som grenseverdi når x går mot a dersom man for enhver [tex]\epsilon >0[/tex] kan finne [tex]\delta[/tex] slik at om [tex]0<|x-a| < \delta[/tex] er [tex]|f(x)-L|<\epsilon[/tex].
Så var det å avmystifisere definisjonen litt. Se på venstresidene av ulikhetene som henholdsvis avstanden mellom funksjonsverdien og grenseverdien og avstanden mellom x og det x går mot. Tenk så på epsilon som en slags 'feilmargin' og på delta som en slags grense man setter på x. Det definisjonen sier blir da noe sånt som at samme hvor nære vi har lyst til å komme grenseverdien (dvs at avstanden fra f(x) og grenseverdien L gjøres så liten som vi ønsker) kan dette gjøres dersom vi bare holder x nær nok a (dvs ved å gjøre avstanden mellom x og a liten nok). Jeg tror FredrikM skrev et notat om dette en gang i tiden som du kanskje kan ha glede av - se gjerne på notatet, og da spesielt seksjon 3.
Vi sier at en funksjon f går mot L som grenseverdi når x går mot a dersom man for enhver [tex]\epsilon >0[/tex] kan finne [tex]\delta[/tex] slik at om [tex]0<|x-a| < \delta[/tex] er [tex]|f(x)-L|<\epsilon[/tex].
Så var det å avmystifisere definisjonen litt. Se på venstresidene av ulikhetene som henholdsvis avstanden mellom funksjonsverdien og grenseverdien og avstanden mellom x og det x går mot. Tenk så på epsilon som en slags 'feilmargin' og på delta som en slags grense man setter på x. Det definisjonen sier blir da noe sånt som at samme hvor nære vi har lyst til å komme grenseverdien (dvs at avstanden fra f(x) og grenseverdien L gjøres så liten som vi ønsker) kan dette gjøres dersom vi bare holder x nær nok a (dvs ved å gjøre avstanden mellom x og a liten nok). Jeg tror FredrikM skrev et notat om dette en gang i tiden som du kanskje kan ha glede av - se gjerne på notatet, og da spesielt seksjon 3.
Det varmer hjertet at "mine verker" blir referert til.
Om det er grensen til en følge du ønsker definisjonen på:
Tenk deg at når du øker n, så blir avstanden (absoluttdifferensen) mellom følgen og grenseverdien mindre og mindre.
La oss si at jeg gir deg et tall - et pittelite ett, f.eks [tex]10^{-7}[/tex]. Oppdraget ditt er å finne et tall N slik at elementet [tex]x_{N+1}[/tex] og alle andre elementer etterpå er kun [tex]10^{-7}[/tex] enheter fra grensen a.
Om det er grensen til en følge du ønsker definisjonen på:
Denne dukker opp i forskjellige små variasjoner.Vi sier at en følge {x_n} går mot a som grenseverdi dersom det for enhver [tex]\epsilon[/tex] finnes et naturlig tall N slik at når n>N, så er alltid [tex]|x_n-a| < \epsilon[/tex].
Tenk deg at når du øker n, så blir avstanden (absoluttdifferensen) mellom følgen og grenseverdien mindre og mindre.
La oss si at jeg gir deg et tall - et pittelite ett, f.eks [tex]10^{-7}[/tex]. Oppdraget ditt er å finne et tall N slik at elementet [tex]x_{N+1}[/tex] og alle andre elementer etterpå er kun [tex]10^{-7}[/tex] enheter fra grensen a.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)