Kongruens -spørsmål

[kimjonas]

Kom til et kapittel som handler om kongruenser..

Per og Anne har 7 kasser med egg. Det er like mange egg i hver kasse. Tallet på egg i hver kasse er mellom 1000 og 1010. De legger eggene på brett som tar 49 egg. Når de er ferdige med alle kassene, er det 42 egg på det siste brettet.
Hvor mange egg er det i hver eske?

Så langt kommer jeg.

[tex]7x[/tex] [symbol:identisk][tex] 42 (mod49)[/tex]
[tex]x [/tex] [symbol:identisk][tex] 6 (mod7)[/tex]
[tex]x = 6+7k[/tex]

Jeg vet også at x er element i {1000,1010}, men hvordan finner jeg ut k? Fasiten skriver bare

[tex]x E{1000,1010} => k=143[/tex]. Hvordan kommer man frem til k uten å måtte prøve seg frem?[/tex]

[Karl_Erik]

Du er nesten ferdig. Du har vist at [tex]x=6+7k[/tex] for et heltall [tex]k[/tex], og [tex]x \in [1000,1010] [/tex]. Med andre ord vet du at [tex]1000 \leq 6 + 7k \leq 1010[/tex]. Herifra kan du trekke fra seks overalt i ulikheten og dele på sju, og så har du funnet en øvre og en nedre grense for [tex]k[/tex]. Du vet jo også at [tex]k[/tex] er et heltall, og dette gir deg nok informasjon.

[kimjonas]

Du er nesten ferdig. Du har vist at [tex]x=6+7k[/tex] for et heltall [tex]k[/tex], og [tex]x \in [1000,1010] [/tex]. Med andre ord vet du at [tex]1000 \leq 6 + 7k \leq 1010[/tex]. Herifra kan du trekke fra seks overalt i ulikheten og dele på sju, og så har du funnet en øvre og en nedre grense for [tex]k[/tex]. Du vet jo også at [tex]k[/tex] er et heltall, og dette gir deg nok informasjon.

[tex]994 \leq 7k \leq 1004[/tex]

[tex]142 \leq k \leq 143.4..[/tex]

Men hva her? Med dette svaret kan jeg få 2 løsninger, og det går jo ikke.?

Takk for svar!

[Gustav]

Antagelig skal det være strenge ulikheter i begrensningen på x.

[kimjonas]

Antagelig skal det være strenge ulikheter i begrensningen på x.

Hva sier du?

[Gustav]

Jeg sier at setningen "Tallet på egg i hver kasse er mellom 1000 og 1010" antagelig skal tolkes slik at antall egg i hver kasse er et tall mellom 1000 og 1010, ikke 1000 eller 1010. Derfor blir det entydige svaret 1007 (dvs. k=143)

[kimjonas]

slik har jeg og forstått det.. men problemet er at jeg ikke vet hvordan jeg kommer frem til k=143

Kan du forklare?

[Gustav]

Nja, Karl_Erik har vel stort sett forklart det som kan forklares ved denne oppgaven..

Du starter jo med

7x=42 mod(49) eller

7x=42+49k for en eller annen heltallig k.

Deler så på 7 og får

x=6+7k

Siden vi må ha 1000<6+7k<1010 er

994<7k<1004

Den eneste heltallige k som oppfyller denne ulikheten er k=143

Da er altså x=6+7*143=1007 QED.

PS: Føler at jeg bare gjentar ting som allerede er sagt her...

[kimjonas]

Nja, Karl_Erik har vel stort sett forklart det som kan forklares ved denne oppgaven..

Du starter jo med

7x=42 mod(49) eller

7x=42+49k for en eller annen heltallig k.

Deler så på 7 og får

x=6+7k

Siden vi må ha 1000<6+7k<1010 er

994<7k<1004

Den eneste heltallige k som oppfyller denne ulikheten er k=143

Da er altså x=6+7*143=1007 QED.

PS: Føler at jeg bare gjentar ting som allerede er sagt her...

Så det er ikke noe annet å gjøre enn å prøve seg frem med de k-verdiene som man får i ulikheten (her: 143 og 144)? ok. Takk

[Karl_Erik]

Whoops, ja, det var meningen med strenge ulikheter som plutarco sa. Du får da bare én mulighet for k. Om du har [tex]994 < 7k < 1004[/tex] gir dette [tex]142<k<143,42857...[/tex]. Legg merke til at k=144 ikke er mulig, da 144<143,42857... .

[kimjonas]

ah.. strenge ulikheter.. Nå skjønner jeg! Vet ikke hva jeg trodde tidligere i dag, men det gikk først nå opp for meg hva strenge ulikheter er. Ja, det ser nok slik ut. Takk til dere som hjalp meg!