de moivres formel, med en vri!

[andsol]

Poster her siden formelen inngår i matematikk X-faget.

de Moivres formel er som kjent:

[tex](\cos \theta + i \cdot \sin \theta)^n = \cos (n\theta) + i \cdot \sin (n\theta)[/tex]

I dag kommer jeg over en utledning i trigonometri, hvor jeg så at det hadde vært nyttig for meg om det var sånn at:

[tex](\cos \theta - i \cdot \sin \theta)^n = \cos (n\theta) - i \cdot \sin (n\theta)[/tex]

Jeg resonnerte slik:
det stemmer at
[tex](\cos (-x) + i \cdot \sin (-x)^n = \cos (-nx) + i \cdot \sin (-nx)[/tex]
siden moivres formel gjelder for alle argumenter [tex]\theta[/tex]

hvis man nå setter inn de velkjente sannhetene:
[tex]\sin (-x) = -\sin x \\ \cos (-x) = \cos x [/tex]

inn i ligningen får vi:

[tex](\cos x - i \cdot \sin x)^n = \cos (nx) - i \cdot \sin (nx)[/tex]

Som var det jeg ønsket. Kan noen se over og si om dette ser riktig ut, og evt gi en dytt i riktig retning om noe er galt?

[moth]

Kan og bruke at [tex]e^{i(-n\theta)}=cos(-n\theta)+i sin(-n\theta)=cos(n\theta)-i sin(n\theta)=(cos(\theta)-i sin(\theta))^n[/tex]

Men jeg skal ikke si sikket om det stemmer for det, men det forsterker kanskje hypotesen

Wolfram sier at det stemmer http://www.wolframalpha.com/input/?i=co ... *theta)%3D(cos(theta)-i*sin(theta))^n