Bevis

[pjuus]

Bruk produktregelen f'(x) = u' * v + u * v'
og (d/dx) (x) = 1

til å (be)vise at f(x)= x^n derivert blir f'(x) = n* x^(n-1)

Trenger hjelp til å forstå hvordan man gjør det?

[Gustav]

Bruk induksjon.

Steg 1. Formelen gjelder for n=1 per antagelse.

Steg 2. Anta at formelen gjelder for en bestemt n. Vis at den dermed gjelder for n+1. Bruk at $x^{n+1}=x^n\cdot x$ og videre produktregelen.

[pjuus]

Kan du gjøre den første delen?

[Gustav]

Ok, formelen du skal vise er altså at det for alle postive heltall n er slik at

$(x^n{)}^{,}=n{x}^{n-1}$

Første induksjonssteg:

Viser at formelen gjelder for n=1. Dette ligger i antagelsen i oppgaven.

Andre steg:

Anta at $(x^n{)}^{,}=n{x}^{n-1}$ for én bestemt n. Må da vise at formelen gjelder for n+1:

Vi har at $(x^{n+1}{)}^{,}=(x\cdot x^n{)}^{,}$ og bruker produktregelen for derivasjon:

Da får vi at $(x\cdot x^n{)}^{,}=x^{,}\cdot x^n+x(x^n{)}^{,}$. Siden vi har antatt at formelen er riktig for n og at den deriverte av x er 1, får vi...


Tar du det herfra?

[pjuus]

Jeg føler meg virkelig dum, men jeg klarer bare ett steg til(som er veldig logisk)

x^n + x * (x^n)'

Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s

[Gustav]

Jeg føler meg virkelig dum, men jeg klarer bare ett steg til(som er veldig logisk)

x^n + x * (x^n)'

Jeg har aldri skjønt induksjonsbevis, og skjønner ikke hvordan jeg skal derivere (x^n)' uten å bruke den regelen som vi skal bevise :s

Det du nå skal bruke er jo antagelsen om at $(x^n{)}^{,}=n{x}^{n-1}$.

Regner med at mange sliter med induksjonsbevis; egentlig er det lett, men tankegangen er uvant. Det som er viktig å innse i steg 2 er at du antar at formelen gjelder for en bestemt n (her er det kanskje pedagogisk å sette n=k), og så utleder du at den dermed gjelder for neste verdi av n, nemlig n=k+1. Siden du i steg 1 har vist at den gjelder for n=1, vil du få en dominoeffekt; fra det du har vist i steg to vil dermed formelen gjelde for n=2 og da vil den gjelde for n=3 osv. osv. ut i uendeligheten. Konklusjonen er derfor at formelen er gyldig for alle n større enn eller lik 1.

[Wency]

Noen som kan ta hele dette beviset?

[FredrikM]

Vi ønsker å vise at $[x^n{]}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ ved å bruke produktregelen og at $[x{]}^{\prime }=1$.

Tilfellet $n=1$ er nettopp den andre antakelsen.

Anta nå påstanden stemmer for $n=k$. Vi må vise at den også stemmer for $n=k+1$.

Per antakelse er $[x^k{]}^{\prime }=k{x}^{k-1}$. Ved produktregelen og induksjonshypotesen har vi at $[x^{k+1}{]}^{\prime }=[x^{k}x{]}^{\prime }=k{x}^{k-1}x+x^k=(k+1)x^k$, som viser at formelen stemmer for $n=k+1$.