Heilosen igjen!
Da har det dukket opp noen oppgaver jeg har lite snøring på etter å ha lest og sett igjennom boka noen ganger... Sliter egentlig generelt mye med å fatte sammenehengen her også... Flere oppgaver jeg lurer på, men vil heller ta en omgang for å finne ut hvordan det funker...
Oppgave I
Finn den retningsderiverte til [tex]f(x,y,z) = xy + yz + zx[/tex] i [tex]P(1,-1,3)[/tex] i retningen mot [tex]Q(2,4,5)[/tex]...
Kommer ikke stort lengre enn [tex]f_x, f_y[/tex] og [tex]f_z[/tex]...
Denne oppgaven finner jeg litt stoff rundt.. Jeg får til oppgaver hvor retningen er oppgitt, men ikke når kun et punkt vi skal gå imot er oppgitt.
Istedenfor at dere skal gi meg hint på første så fant jeg en lik oppgave i boka med to variabler som noen kanksje kunne gi meg en liten løsning eller beskrivelse av fremgangsmåte...
Oppgave, bok:
Finn den retningsderiverte til [tex]f(x,y) = \sqrt{xy}[/tex] i [tex]P(2,8)[/tex] i retningen mot [tex]Q(5,4)[/tex]...
Retnings(deriverte/vektor)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
meCarnival
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
Det er en stund siden jeg har holdt på med dette, men jeg kan prøve.
Vi har altså skalarfeltet, eller funksjonen, [tex]f(x,y)=\sqrt{xy}[/tex]. Det korresponderende vektorfeltet [tex]\nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{y}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}\hat{x}+\frac{x}{2\sqrt{xy}}\hat{y}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\hat{x}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}\hat{y}[/tex] peker alltid i retningen der [tex]f[/tex] stiger raskest, og lengden av [tex]\nabla f(x,y)[/tex] er lik størrelsen på stigningstallet.
Den retningsderiverte i en gitt retning gitt ved en enhetsvektor [tex]\hat{u}[/tex] i denne retningen er gitt ved
[tex]D_u f(x,y)=\underbrace{\nabla f(x,y)\cdot \hat{u}}_{\text{Skalarprodukt}}[/tex]
[tex]\hat{u}[/tex] er her [tex]\hat{u}=\frac{[3,-4]}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{[3,-4]}{5}=\left[\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right][/tex]
og
[tex]\nabla f(2,8)=\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8}{2}},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{8}}\right]=\left[\frac{4}{2},\frac{1}{2\cdot 4}\right]=\left[2,\frac{1}{8}\right][/tex]
Til slutt finner vi at
[tex]D_u f(2,8)=\nabla f(2,8)\cdot \hat{u}=\left[2,\frac{1}{8}\right]\cdot\left[\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right]=2\frac{3}{5}-\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{5}=\frac{6}{5}-\frac{1}{10}=\underline{\underline{\frac{11}{10}}}[/tex]
Vi har altså skalarfeltet, eller funksjonen, [tex]f(x,y)=\sqrt{xy}[/tex]. Det korresponderende vektorfeltet [tex]\nabla f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{y}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}\hat{x}+\frac{x}{2\sqrt{xy}}\hat{y}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\hat{x}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}\hat{y}[/tex] peker alltid i retningen der [tex]f[/tex] stiger raskest, og lengden av [tex]\nabla f(x,y)[/tex] er lik størrelsen på stigningstallet.
Den retningsderiverte i en gitt retning gitt ved en enhetsvektor [tex]\hat{u}[/tex] i denne retningen er gitt ved
[tex]D_u f(x,y)=\underbrace{\nabla f(x,y)\cdot \hat{u}}_{\text{Skalarprodukt}}[/tex]
[tex]\hat{u}[/tex] er her [tex]\hat{u}=\frac{[3,-4]}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{[3,-4]}{5}=\left[\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right][/tex]
og
[tex]\nabla f(2,8)=\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8}{2}},\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{8}}\right]=\left[\frac{4}{2},\frac{1}{2\cdot 4}\right]=\left[2,\frac{1}{8}\right][/tex]
Til slutt finner vi at
[tex]D_u f(2,8)=\nabla f(2,8)\cdot \hat{u}=\left[2,\frac{1}{8}\right]\cdot\left[\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right]=2\frac{3}{5}-\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{5}=\frac{6}{5}-\frac{1}{10}=\underline{\underline{\frac{11}{10}}}[/tex]
-
meCarnival
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
Hei, takker for et innspill.. Er veldig usikker på dette feltet så sett litt på nett, men ikke mye å finne...
Noen ting lurer jeg på med stykket ditt og... Hvor fikk du 3 fra? Antar du henter det fra punktet,Q(5,4), men hentet kun feil verdi?
Hvor fikk du [tex]\hat{u}[/tex] formelen fra.. den med kvadratroten...?
Svaret skal være 2/5 fant jeg ut bakerst også =/...
Noen ting lurer jeg på med stykket ditt og... Hvor fikk du 3 fra? Antar du henter det fra punktet,Q(5,4), men hentet kun feil verdi?
Hvor fikk du [tex]\hat{u}[/tex] formelen fra.. den med kvadratroten...?
Svaret skal være 2/5 fant jeg ut bakerst også =/...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
[tex]\hat{u}[/tex] var bare vektoren mellom P og Q delt på avstanden mellom punktene. Da får man et enhetsvektor som peker fra P til Q.
Som sagt er det en god stund (rundt om 1 år) siden jeg rørte retningsderivasjon, så det kan godt hende at jeg har oversett noe i utregningen.
Her er en video om retningsderiverte som jeg kan anbefale: http://www.youtube.com/watch?v=cnWSziL2 ... annel_page
Donylee, som laget videoen, vet hva han snakker om. Jeg mener han forklarer godt, og jeg tror han har et eller flere eksempler med også.
Som sagt er det en god stund (rundt om 1 år) siden jeg rørte retningsderivasjon, så det kan godt hende at jeg har oversett noe i utregningen.
Her er en video om retningsderiverte som jeg kan anbefale: http://www.youtube.com/watch?v=cnWSziL2 ... annel_page
Donylee, som laget videoen, vet hva han snakker om. Jeg mener han forklarer godt, og jeg tror han har et eller flere eksempler med også.
Last edited by espen180 on 01/09-2009 20:44, edited 1 time in total.
-
meCarnival
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
Jeg så begge videoene, men det er derfra jeg lurer på hvordan jeg skal bruke Q(x,y,z) for å regne ut den retningederiverte... Han utledet og skjønte dlvis hva han holdt på med, me snakker passe fort... Prøv deg på den første oppgaven da også glo om det gir noe svar, skal og gjøre det selv så kan vi sammenligne...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
Bruker phi for funksjonen her:
[tex]\phi = xy+yz+zx \\ \nabla \phi=[y+z,x+z,x+y] \\ x=1\,,\,y=-1\,,\,z=3 \\ \nabla\phi=[3-1,1+3,1-1]=[2,4,0] \\ \vec{u}=[2-1,4+1,5-3]=[1,5,2] \\ |\vec{u}|=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30} \\ \hat{u}=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\left[\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}}\right] \\ D_u\phi=\nabla\phi\cdot\hat{u}=\frac{2}{\sqrt{30}}+\frac{20}{\sqrt{30}}=\frac{22}{\sqrt{30}}[/tex]
[tex]\phi = xy+yz+zx \\ \nabla \phi=[y+z,x+z,x+y] \\ x=1\,,\,y=-1\,,\,z=3 \\ \nabla\phi=[3-1,1+3,1-1]=[2,4,0] \\ \vec{u}=[2-1,4+1,5-3]=[1,5,2] \\ |\vec{u}|=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30} \\ \hat{u}=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\left[\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}}\right] \\ D_u\phi=\nabla\phi\cdot\hat{u}=\frac{2}{\sqrt{30}}+\frac{20}{\sqrt{30}}=\frac{22}{\sqrt{30}}[/tex]
-
meCarnival
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
Den stemte med fasiten... Kom halvveis og stoppet opp, men takker for din hjelp.. Kommer vel med neste oppgave nå... Foreleseren har sagt Calculus boka er dårlig på dette punktet og vil gjøre litt som han vil gjøre det, men jeg vil ikke ligge bak akkurat... 
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
-
meCarnival
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
hva er forskjellene på dine u'r? ene er pil og andre har hatt... Regner med hatt'n er vektoren jeg er ute etter...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
Bare hyggelig å hjelpe. 
I min notasjon over er [tex]\vec{u}[/tex] vektoren som går fra P til Q, og [tex]\hat{u}[/tex] er en vektor som peker fra P mot Q og har lengde 1. Det er viktig at vektoren du bruker i retningsderivasjonen har lengde 1, for ellers blir svaret feil. Det er en vane jeg har tillagt meg - å notere enhetsvektorer med hatt istedet for pil.
Hvis du tar lengden av [tex]\hat{u}[/tex] så ser du at den er 1.
Her er en ny youtube-film der donylee tar enda et eksempel på dette: http://www.youtube.com/watch?v=gj4s26EO ... annel_page
I min notasjon over er [tex]\vec{u}[/tex] vektoren som går fra P til Q, og [tex]\hat{u}[/tex] er en vektor som peker fra P mot Q og har lengde 1. Det er viktig at vektoren du bruker i retningsderivasjonen har lengde 1, for ellers blir svaret feil. Det er en vane jeg har tillagt meg - å notere enhetsvektorer med hatt istedet for pil.
Hvis du tar lengden av [tex]\hat{u}[/tex] så ser du at den er 1.
Her er en ny youtube-film der donylee tar enda et eksempel på dette: http://www.youtube.com/watch?v=gj4s26EO ... annel_page
-
meCarnival
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
Jeg noterte det slik jeg... Fint om noen kunne se over og være kritisk... JEg synes det ser bra ut, men om det er 100% rett vet jeg ikke...
Ikke tatt med det under, bare summert og fått 22/kvad 30
Ikke tatt med det under, bare summert og fått 22/kvad 30
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
Jeg synes det ser bra ut. Jeg ser ikke noen feil.