Mer retningsderivert

[meCarnival]

Finn retningene hvor den retningsderiverte til funksjonen [tex]f(x,y)=x^2+sin(xy)[/tex] i punktet (1,0) har verdien 1...

Samme som i forrige post, finner dårlig lite om våres oppgaver, men boka har egne eksempler og mye like oppgaver...

[espen180]

Hvor i utregningen stopper det opp?

[meCarnival]

Det jeg sliter med disse oppgavene er å få inn retningen, hva er retningen av dette? Jeg tenker retningen som en vinkel i forhold til et eller annet, men kanskje misforstått i denne sammenhengen...

[espen180]

Vi starter med funksjonen, som jeg kaller [tex]\phi[/tex], men du kan kalle den hva du vil, så klart.

Det første vi alltid må finne ut i slike oppgaver er i hvilken retning [tex]\phi[/tex] stiger raskest. Denne retningen er gitt ved

[tex]\nabla \phi=\left[\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right][/tex]

I todimensjonale tilfeller blir dette [tex]\nabla \phi=\left[\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y}\right][/tex]

osv.

Du har helt rett når du tenker på retningen som en vinkel i forhold til maksimalstigningsretningen. For å finne denne vinkelen bruker vi enhetsvektoren i retningen vi ønsker. [tex]\hat{u}[/tex] er her enhetsvektoren som går i samme retning som retningen vi ønsker å derivere i. Hvis [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom maksimalstigningsretningen og retningen vi deriverer i, kan vi skrive

[tex]D_u\phi=\nabla \phi \cdot \hat{u}=|\nabla \phi|\cos\theta[/tex].

der [tex]|\nabla \phi |[/tex] er stigningstallet i maksimalretningen.


Hele prosessen er dermed kun å bestemme [tex]\nabla \phi[/tex] og [tex]\hat{u}[/tex]. Vinkelen [tex]\theta[/tex] kommer naturlig når vi tar skalarproduktet mellom dem.


Ble det klarere?

[meCarnival]

Ja, ting kom litt mere frem.. Tar å leser boka en gang til nå som jeg vet hva ting betyr...

[meCarnival]

Jeg prøvde meg på en annen oppgave først...

Finn største endringsraten til funksjonen [tex]f(x,y,z,)=ln(xy^2z^3)[/tex] i punktet [tex]P(1,-2,3)[/tex] og i hvilken retning...

Sånn gjorde jeg det:

[tex]\bigtriangledown f(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) = \langle \vec{\frac{1}{x}}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z}\rangle[/tex]
[tex]\bigtriangledown f(1,-2,3) = \langle \frac{1}{1}, -\frac{2}{2}, \frac{3}{3}\rangle = \underline{\underline{\langle 1, -1, 1\rangle}}[/tex]

[tex]\| \bigtriangledown f(1,-2,3) \| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \underline{\underline{\sqrt{3}}}[/tex]

Så skal retningen være vektor?
Synes det ser bra ut og de med underline er riktige svar, men har jo ikke vært innom noen endringsrate da?


Og i opprinnelig oppgave som posten startet med så sliter jeg med å finne hva som skal være lik 1... Når skal den komme inn i bildet?

[espen180]

For opprinnelig post:
Du skal finne alle retninger (enhetsvektorer i disse retningene) der [tex]D_u\phi=|\nabla \phi|\cos \theta = 1[/tex].


For siste post:
[tex]|\nabla \phi|[/tex] er endringsraten i raskest stigende retning.

[Gustav]

Jeg prøvde meg på en annen oppgave først...

Finn største endringsraten til funksjonen [tex]f(x,y,z,)=ln(xy^2z^3)[/tex] i punktet [tex]P(1,-2,3)[/tex] og i hvilken retning...

Sånn gjorde jeg det:

[tex]\bigtriangledown f(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) = \langle \vec{\frac{1}{x}}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z}\rangle[/tex]
[tex]\bigtriangledown f(1,-2,3) = \langle \frac{1}{1}, -\frac{2}{2}, \frac{3}{3}\rangle = \underline{\underline{\langle 1, -1, 1\rangle}}[/tex]

[tex]\| \bigtriangledown f(1,-2,3) \| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \underline{\underline{\sqrt{3}}}[/tex]

Så skal retningen være vektor?
Synes det ser bra ut og de med underline er riktige svar, men har jo ikke vært innom noen endringsrate da?


Og i opprinnelig oppgave som posten startet med så sliter jeg med å finne hva som skal være lik 1... Når skal den komme inn i bildet?

Det fine med gradienten er at den angir den retningen der funksjonen stiger raskest. Så normerer vi blir retningen [tex] \frac{\bigtriangledown f(1,-2,3) }{|\bigtriangledown f(1,-2,3) |}[/tex]

[meCarnival]

De retninger eller den retningen?
Så skal bruke [tex]\frac{\bigtriangledown%20f(1,-2,3)%20}{|\bigtriangledown%20f(1,-2,3)%20|}[/tex] eller [tex]|\nabla%20\phi|[/tex] i oppgaven i første post?
Der sal jeg jo finne retningene, mhp på verdien 1 et eller annet sted.. Hva har verdien 1, det forstår jeg vel ikke helt enda...

Synes dette er vanskelig stoff å lese på selv, men det jeg lærer av også til gjengjeld...


[tex]\nabla[/tex] - Tegnet heter nabla på norsk også eller?

[meCarnival]

Jeg overså hva espen hadde sagt om 1 så skal ta å prøve på den nå... Ser det vil bli to pga to cosinus verdier...

Sånn her gjorde på den forrige...



Slik jeg har forstått etter å lest posten mill ganger er:

[tex]\nabla \phi[/tex] gir meg den retningen hvor det stiger raskest?

[tex]\|\nabla \phi\|[/tex] er endringsraten med størst vekst i den gitte retningen?

Tenker på å lage en liten oppslagsbok når dette kommer i timene fordi synes det var mye å holde styr på ...

[espen180]

Navnet på [tex]\nabla[/tex] er ikke så viktig. I denne sammenhengen er det en del operator.

[meCarnival]

Nei, ikke at det er så viktig, bare lurt på det fra jeg begynte å lese også så jeg koden var nabla... Oppdatert over nå... holder på med en oversiktsliste over hva ting faktisk er... =)...

[espen180]

Det kan være en god idé.

Om vi skal være skikkelig grundige:

La [tex]P_n[/tex] være et punkt med koordinatene [tex](x_n,y_n,z_n)[/tex], så du kan erstatte [tex]P_n[/tex] med koordinater om du vil.

[tex]\phi(P_n)[/tex] er en skalarfunksjon (vanlig funksjon, som [tex]f(x,y,z)[/tex])

[tex]\nabla \phi(P_n)[/tex], kalt gradienten til [tex]\phi[/tex] er en vektor fra [tex]P_n[/tex] som angir retningen hvor stigningstallet til funksjonen er størst, med andre ord retningen hvor reise gir raskeste umiddelbare økning i [tex]\phi[/tex].

[tex]|\nabla \phi(P_n)|[/tex] er lengden av denne vektoren og angir stigningstallet i retningen med størst stigningsgrad.

[tex]D_u\phi(P_n)=\nabla \phi(P_n)\cdot \hat{u}=|\nabla\phi(P_n)|\cos\theta[/tex], kalt [tex]\phi[/tex]s retningsderiverte i retningen av [tex]\hat{u}[/tex] er stigningstallet i en gitt retning angitt av en enhetsvektor [tex]\hat{u}[/tex] som peker i denne retningen. [tex]\theta \in [0,\pi].[/tex]

Var det noe mer?

[meCarnival]

Tenkte jeg skulle lage den før tirsdag, ala lørdag på dagen tenker jeg å se over for å prøve å være ferdig med disse oppgavene denne uka.. Prøver meg nå på den som jeg akkurat la ut...

Men ja, skal lese over og se om det er noe mer som kommer opp... det er mye vektorer, ikke vektorer, enhetsvektorer og +++ som må holdes styr på og vil kunne det, bare ikke like lett å fortøyd det helt... ...

[meCarnival]

Viser litt hvordan jeg tenker på den ene oppgaven over.. Det er noe her som er litt misforstått.. Svar: [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\approx 5.64[/tex]