I denne oppgaven er n et fast naturlig tall.Dersom a, b er element i Z skriver vi a\equiv b hvis a-b er delelig med n.
a)Vis at hvis [tex]\: a \equiv b \: ,[/tex] og ,[tex] \: b\equiv c[/tex], så er [tex]\: a \equiv c[/tex].
Vis at a deler c.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\equiv[/tex] \equiv i LaTeX
På mer forståelig norsk sier oppgaven:
Hvis a deler b, og b deler c, hvis at a deler c.
Hint: Hvis a deler b, kan man skrive ak=b (for en eller annen k). Spill videre på dette.
På mer forståelig norsk sier oppgaven:
Hvis a deler b, og b deler c, hvis at a deler c.
Hint: Hvis a deler b, kan man skrive ak=b (for en eller annen k). Spill videre på dette.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
a)svar:
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]
La n være et heltall;
Da får vi;
[tex] an=b, \: bn=c, \: an=c[/tex]
La n=2 og a=4.Det gir;
[tex]4\cdot 2=8,\: 8\cdot 2=16,\: 4\cdot2=8,\: \:[/tex] c skulle jo bli 16?
Mulig jeg surrer...
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]
La n være et heltall;
Da får vi;
[tex] an=b, \: bn=c, \: an=c[/tex]
La n=2 og a=4.Det gir;
[tex]4\cdot 2=8,\: 8\cdot 2=16,\: 4\cdot2=8,\: \:[/tex] c skulle jo bli 16?
Mulig jeg surrer...
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]
Man leser det som a deler b , b deler c, a deler c.
La s, t, k være tallene i mengden Z;
Da får vi;
[tex] as=b, \: bt=c, \: ak=c[/tex]
La a=4, s=5,t=2,k=10 Det gir;
[tex]4\cdot5=20, \: 20 \cdot 2=40, \: 4 \cdot 10=40[/tex]
Hva betyr notasjonen [tex]\: a-b[/tex]?
Man leser det som a deler b , b deler c, a deler c.
La s, t, k være tallene i mengden Z;
Da får vi;
[tex] as=b, \: bt=c, \: ak=c[/tex]
La a=4, s=5,t=2,k=10 Det gir;
[tex]4\cdot5=20, \: 20 \cdot 2=40, \: 4 \cdot 10=40[/tex]
Hva betyr notasjonen [tex]\: a-b[/tex]?
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
FredrikMs oversettelse av oppgava er ikke korrekt, dropp den. Bruk Karl_Erik sitt hint. Notasjonen [tex]a-b[/tex] betyr a minus b.
Småflau nå. Men rotet. Forøvrig er det en fin ekstraoppgave å vise det min gale oversettelse hinter til.
Ihvertfall, som plaster på rotet mitt: [tex]a \equiv b (mod n)[/tex] betyr, som Karl_Erik så presist sa, at a-b=kn, for en eller annen heltalls-k. La f.eks n være 3:
Da er [tex]1 \equiv 4 (mod 3)[/tex]. Eller [tex]3 \equiv 0 (mod 3)[/tex].
Ihvertfall, som plaster på rotet mitt: [tex]a \equiv b (mod n)[/tex] betyr, som Karl_Erik så presist sa, at a-b=kn, for en eller annen heltalls-k. La f.eks n være 3:
Da er [tex]1 \equiv 4 (mod 3)[/tex]. Eller [tex]3 \equiv 0 (mod 3)[/tex].
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Ok,vi vet at [tex]a \equiv b \: ,[/tex]betyr som følger;
[tex]a-b=kn \:[/tex] der k er et heltall og n et fast tall.
Vi setter a=8 ,b=7,n=-1,k=-1,t=2,s=1.Da har vi;
[tex]a \equiv b,\: b \equiv c, \: a \equiv c[/tex]
eller;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c,\: a-c=sn[/tex]
Innsatt får vi;
[tex]8-7=-1 \cdot -1,\: 7-(2\cdot -1)=9,\: 8-9=1 \cdot -1[/tex]
[tex]1=1, \: 9=9, \: -1=-1[/tex]
Dermed har jeg vist at hvis a-b=kn og b-c=tn så er a-c=sn for noen verdier, der n er et fast tall.Enig?
[tex]a-b=kn \:[/tex] der k er et heltall og n et fast tall.
Vi setter a=8 ,b=7,n=-1,k=-1,t=2,s=1.Da har vi;
[tex]a \equiv b,\: b \equiv c, \: a \equiv c[/tex]
eller;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c,\: a-c=sn[/tex]
Innsatt får vi;
[tex]8-7=-1 \cdot -1,\: 7-(2\cdot -1)=9,\: 8-9=1 \cdot -1[/tex]
[tex]1=1, \: 9=9, \: -1=-1[/tex]
Dermed har jeg vist at hvis a-b=kn og b-c=tn så er a-c=sn for noen verdier, der n er et fast tall.Enig?
Last edited by Wentworth on 02/09-2009 21:40, edited 2 times in total.
Absolutt ikke. 
Du viser kun at det stemmer for et endelig antall spesifikke verdier. Det skal stemme for absolutt alle mulige a, b, c. Gjør det mer generelt og bruk litt algebra.
Du viser kun at det stemmer for et endelig antall spesifikke verdier. Det skal stemme for absolutt alle mulige a, b, c. Gjør det mer generelt og bruk litt algebra.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Vel for alle a, b og c får vi det til å stemme slik ;
Vi har;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c, \: a-c=sn[/tex]
Løser den siste for c og setter i den nest siste likningen, da har vi;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=a-sn[/tex]
Løser for a fra den andre likningen og setter i den første for a og får;
[tex]b-tn+sn-b=kn[/tex]
[tex]sn-tn=kn[/tex]
Deler med n for alle leddog får;
[tex]s-t=k[/tex]
Fra mitt forrige innlegg ser man at s=1, t=2 og k=-1.
Setter inn og ser om venstre siden er lik høyre siden;
1-2=-1
-1=-1
Da skulle vi være i mål
Vi har;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c, \: a-c=sn[/tex]
Løser den siste for c og setter i den nest siste likningen, da har vi;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=a-sn[/tex]
Løser for a fra den andre likningen og setter i den første for a og får;
[tex]b-tn+sn-b=kn[/tex]
[tex]sn-tn=kn[/tex]
Deler med n for alle leddog får;
[tex]s-t=k[/tex]
Fra mitt forrige innlegg ser man at s=1, t=2 og k=-1.
Setter inn og ser om venstre siden er lik høyre siden;
1-2=-1
-1=-1
Da skulle vi være i mål
Du er på sporet av noe, men du driver fremdeles med disse spesifikke verdiene. Kutt ut alle tall, og regn kun med symboler.
*Notater*:
a+kn=b
b+in=c
a+kn=c-in
a+n(k+i)=c
*Notater*:
a+kn=b
b+in=c
a+kn=c-in
a+n(k+i)=c
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Det er ikke verre enn, hvis jeg setter k+s=t så beviser jeg det slik;
[tex]a-b=kn[/tex]
og
[tex]b-c=sn[/tex]
så er
[tex]a-c=tn[/tex]
Bevisføringen blir slik;
Regner ut b fra den første likningen og setter for b inn i den andre likningen og får;
[tex]a-kn-c=sn [/tex]
Fikser på likningen og får;
[tex]a-c=sn+kn[/tex]
[tex]a-c=(s+k)n[/tex]
Dermed er;
[tex]a-c=tn[/tex]
Over har jeg vist at dersom ;
[tex]a \equiv b[/tex]
og
[tex]b \equiv c[/tex]
så er
[tex]a \equiv c[/tex]
[tex]a-b=kn[/tex]
og
[tex]b-c=sn[/tex]
så er
[tex]a-c=tn[/tex]
Bevisføringen blir slik;
Regner ut b fra den første likningen og setter for b inn i den andre likningen og får;
[tex]a-kn-c=sn [/tex]
Fikser på likningen og får;
[tex]a-c=sn+kn[/tex]
[tex]a-c=(s+k)n[/tex]
Dermed er;
[tex]a-c=tn[/tex]
Over har jeg vist at dersom ;
[tex]a \equiv b[/tex]
og
[tex]b \equiv c[/tex]
så er
[tex]a \equiv c[/tex]
Last edited by Wentworth on 03/09-2009 12:21, edited 1 time in total.
Der er du i mål.
Kunne kuttet ut "utnytter at"-delen, for alt du trengte å vise var at det finnes et heltall z slik at a-c=zn. Du fant dette heltallet, og da er du i mål.
Kunne kuttet ut "utnytter at"-delen, for alt du trengte å vise var at det finnes et heltall z slik at a-c=zn. Du fant dette heltallet, og da er du i mål.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
For å sette det hele i et litt større perspektiv:
[tex]\equiv[/tex] definerer her en ekvivalensrelasjon som er
i) Refleksiv
ii) Symmetrisk
iii) Transitiv
Mer om dette her http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation
for interesserte studenter av diskret matematikk:)
[tex]\equiv[/tex] definerer her en ekvivalensrelasjon som er
i) Refleksiv
ii) Symmetrisk
iii) Transitiv
Mer om dette her http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation
for interesserte studenter av diskret matematikk:)