Mer retningsderivert

[espen180]

[tex]\theta[/tex], som du har funnet her, er vinkelen mellom løsningsretningene og maksimalstigningsretningen.

Hva mener du med svar: pi/2? Var det alt som stod i fasiten?

[meCarnival]

Ja, svar i fasit er:

c) [tex]\frac{ \pi}{2}[/tex] og [tex]\approx 5.64[/tex].


Blir litt frustert fordi hva er det.. Jaok, så jeg må endre retningen mao? men jeg brukte jo punktet P(1,0) fra oppgaven... Satt inn feil tall? Synes dette virket logisk, men neida

[espen180]

Vi kan jo la noen andre prøve seg på den og sammenligne svarene. Personlig synes jeg dine utregninger så riktige ut.

[meCarnival]

Hehe, hvem andre? Du og jeg som er aktive i denne tråden .. Men gjerne andre komme med og da.. ...

Men jeg lurer på hvis mine er riktige, hva er da 1.107? Og tenkte at det var sparng på 2 [symbol:pi] mellom de to svarene, men det var det heller ikke..
Så nå blir jeg og han jeg jobber med bare mer og mer irritert pga boka ...
Kan jo være noe feil med kvadratrota, men får uansett ikke ut to forskjellige verdier da så må være to forskjellige input's et sted..?


Har en oppgave jeg skal finne alle punkter hvor endringen til en funksjon er størt i en retning [tex]\vec{v} = \vec{i}+\vec{j}[/tex].
Istedenfor å poste ut oppgaven, kanskje noen skjønner hva jeg skal bruke.. Endringsrate = endringen til funksjonen?

[espen180]

Du vil finne alle punkter der funksjonen stiger mot [tex]\hat{i}+\hat{j}[/tex].

[tex]\nabla\phi=\left[\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\right][/tex]

Jeg kan bare foreslå å løse ligningssettet

[tex]\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial\phi}{\partial z}=0[/tex].

Uten selve funksjonen tror jeg ikke at jeg kan foreslå mer enn det. Jeg er ikke 100% sikker på at dette stemmer, men intuisjonen min sier at det gjør det.

[meCarnival]

Jeg har funksjonen: [tex]f(x,y) = x^2+y^2-2x-4y[/tex]

Jeg har finni [tex]\nabla f(x,y) = \langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x} \rangle = \langle 2x-2, 2y-4 \rangle[/tex] og [tex]\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \langle\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}[/tex]


Så etter det mener du at

[tex]2x-2 = 2y-4 \Rightarrow \underline{\underline{x+1=y}}[/tex]

Men hvor i huleste fikk du det fra og noen forklaring på hvordan du tenkte deg frem til det?
Det er jo riktig forsåvidt...

[espen180]

Jeg tenkte som så:

Vi er ute etter punkter der gradienten peker i retning av [tex]\hat{i}+\hat {j}[/tex]. Er du enig i at alle vektorer [tex]\vec{v}=[v_x,v_y][/tex] er parallelle med [tex]\hat{i}+\hat {j}[/tex] dersom [tex]v_x=v_y[/tex]?

Etter denne analysen er vi i fullmakt til å hevde at endringen til funksjonen er størst i retningen av [tex]\hat{i}+\hat {j}[/tex] dersom, og kun dersom [tex]\nabla f[/tex] er parallell med [tex]\hat{i}+\hat {j}[/tex], som tilsvarer at [tex](\nabla f)_x=(\nabla f)_y[/tex] (vektorkomponenter, ikke deriverte), eller, [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}[/tex]. Hvis vi går inn i tre dimensjoner må vi inkludere [tex]\frac{\partial f}{\partial z}=0[/tex].

Ble det klart nå?

[meCarnival]

Ja, men dette står det ikke noe om i boka, så oppgitt.. Skjønner det med parallelle, men ikke hvor du tar det at gradienten skal peke i \vec{i}+\vec{j} retning...

[espen180]

I oppgaveteksen sto det:

Finn punktene der endringen (stigningstallet) til funksjonen peker i retning av [tex]\hat{i}+\hat{j}[/tex].

Gradienten peker alltid i retningen der funksjonen stiger raskest, så det er bare å legge inn relasjonene, som jeg forklarte i forrige post.

[meCarnival]

Ok, dermed skeptisk til oppgaven.. Ikke lest noe lignende, men får vel lese en gang til da ... Nå begynner jeg å bli passe dritt lei dette.. Vanskelig og mye å holde styr på, men etter lista di kom så skjønner jeg litt mer av hva jeg faktisk driver med da ...

[espen180]

Glad for å kunne hjelpe!

Det må vel være noen utfordringer i oppgavene, ellers blir det jo bare å plugge tall inn i formler. Det er videregående-matte.

[meCarnival]

Hehe, ja det er det, men ikke noe teori, teroremer o.l. om det der med gradient er passe irriterende.. Samme som å bla opp i vilkårlig kapitel og begynne å regne, ikke alltid like lett å treffe spiker'n på hue...
Takker for hjelpen, hittil... Håper du har mere å bidra med.. Håper dobbelt integraler er lettere enn dette da, det er vel neste på pensumlista så blir neste uke =)...

Ja, har en oppgave til for å gjøre det hele komplett, men den tror jeg er lett egentlig, bare jeg som ikke ser helt hvordan jeg skal løse det matematisk..


Svar: Øker

I nærheten av en bøye i en innsjø er vanndybden, z i et punkt (x,y) på overflate gitt ved z = 200 + 0.02x^2 - 0.001y^2, der x, y og z er målt i meter.
En fisker starter i punktet (80,60) og styrer mot bøyen som ligger i (0,0).
Øker eller minker vanndyben når båten nærmer seg bøyen...?

Løsning: ?

Denne forstår jeg ikke hvorfor øker... Det er sikkert noe jeg neglisjerer her... Men på (80,60) = 324,40m men (0,0) = 200m etter formelen... Hvorfor øker vanndybden når han går fra 324,40m --> 200,00 m?? KILL ME

Dette ser jeg ikke helt hvor jeg skal starte på det matematiske...

[espen180]

Kanskje oppgaven tenker på den retningsderiverte i retningen han begynner å kjøre i? Bare et forslag...

[meCarnival]

Får se om jeg kommer på noe fornuftig utifra lista di da...

[meCarnival]

Nå gikk jeg over øvingene, sliter med den båt tingen og komme bort fra mitt eget ressonment fra i går kveld... også skjønte jeg ikke hva du mente espen med vinklene mellom maks stigning og løsnings stigningen.. Den 1.107 som jeg fikk...
Hvorfor får jeg plutselig noe midt i mellom og hvordan får jeg alle punktene?, altså to i dette tilfellet, men later som jeg ikke vet det...