Induksjon

[Andreas345]

Hei hei,

Har en oppgave jeg ikkje får til.

[tex]1+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{sqrt{3}}+...+\frac{1}{sqrt{n}}>2(sqrt{n+1}-1)[/tex]

Sjekker om formelen er rett for n=1

[tex]1>2sqrt{2}-1 \Rightarrow 1>0.828[/tex]

Antar at formelen stemmer for n=k, hvor [tex]k \geq 1[/tex]

[tex](1) \ \ 1+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{sqrt{3}}+...+\frac{1}{sqrt{k}}>2(sqrt{k+1}-1)[/tex]

Da må også formelen formelen stemme for n=k+1

[tex](1+\frac{1}{sqrt{2}}+\frac{1}{sqrt{3}}+...+\frac{1}{sqrt{k}})+\frac{1}{sqrt{k+1}}[/tex]

Ved (1) har vi at dette blir:

[tex]2(sqrt{k+1}-1)+\frac{1}{sqrt{k+1}}[/tex]

Så hvis dette skal stemme skulle disse to sammenlagt bli [tex]2(sqrt{k+2}-1)[/tex], skal det ikkje?

Jeg antar eg jeg har gjort noe feil siden dette er en ulikhet, og jeg har aldri vært borti ulikheter som skal bevises med induksjon før.

Takker for innspill / tips o.l.

Mvh. Andreas

[Solar Plexsus]

Du skal ikke vise at de to uttrykkene blir like, men at

[tex] (1) \;\; 2(sqrt{k+1}-1) \;+\; \frac{1}{sqrt{k+1}} \;\; > \;\; 2(sqrt{k+2} \;-\; 1),[/tex]

som er ekvivalent med

[tex] (2) \;\; \sqrt{k+2} \;- \; \sqrt{k+1} \; < \; \frac{1}{2\sqrt{k+1}}. [/tex]

Ulikheten (2) kan vi bevises på følgende måte:

[tex](\sqrt{k+2} \;-\; \sqrt{k+1}) = \;\; \frac{(\sqrt{k+2} \;-\; \sqrt{k+1})(\sqrt{k+2} \;+\; \sqrt{k+1})}{\sqrt{k+2} \;+\; \sqrt{k+1}} \;\; = \;\; \frac{(k+2) \;-\; (k+1)}{\sqrt{k+2} \;+\; \sqrt{k+1}} \\ \\ \;\; = \;\; \frac{1}{\sqrt{k+2} \;+\; \sqrt{k+1}} \;\; < \;\; \frac{1}{\sqrt{k+1} \;+\; \sqrt{k+1}} \;\; = \;\; \frac{1}{2\sqrt{k+1}}.[/tex]

Dermed er ulikheten (1) bevist, og induksjonstrinnet fullført.