Hvordan løser man denne?;
Oppgave 11.
La [tex]\: f(x)=e^{x^2} \:[/tex].Vis ved induksjon at [tex]\: f^{(n)}(x)=p_{n}(x)e^{x^2} \: [/tex] der [tex]\: p_{n}(x) \:[/tex] er et n-te grads polynom.
([tex]\: f^{(n)}(x) \:[/tex] er den n-te deriverte til [tex]\: f(x)\:[/tex]. Du behøver ikke å finne en formel for [tex]\: p_{n}(x)[/tex].)
Induksjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Anta at det gjelder for n=1. Du kan vise dette ved å derivere.
Anta så at det gjelder for n.
Hvordan kan du nå vise at det gjelder for n+1, og dermed alle n?
Anta så at det gjelder for n.
Hvordan kan du nå vise at det gjelder for n+1, og dermed alle n?
La det gjelde for n per antakelse, og vis at om det gjelder for n må det også gjelde for n+1.
Som espen180 sier gjelder det for eksempel for [tex]n=1[/tex]. Dette kan du komme fram til ved å derivere funksjonen i oppgaven. Antagelsen er at den n-te deriverte til funksjonen er [tex]p_n (x) e^{x^2}[/tex], der [tex]p_n (x)[/tex] er et n-te gradspolynom. I tilfellet [tex]n=1[/tex] holder det derfor å sjekke at den deriverte til funksjonen er [tex]p_1 (x) e^{x^2}[/tex], der [tex]p_1 (x)[/tex] er et førstegradspolynom.Wentworth wrote:Kan du gi et eksempel for når det gjelder for n?(altså hvordan man kommer fram til at det gjelder for n?)
Ja, det var noe slik jeg tenkte og prøvde meg fram slik;
For [tex]\: P_{1} \:[/tex] har vi;
[tex](1 \cdot e^{n^2})`=2ne^{n^2}[/tex]
For [tex] \: P_{n} \:[/tex] har vi;
[tex](n \cdot e^{x^2})`=n` \cdot e^{n^2}+n \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]1 \cdot e^{n^2}+n \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]e^{n^2}+2n^{2}e^{n^2}[/tex]
For [tex]\: P_{n+1} \:[/tex] har vi;
[tex]((n+1) \cdot e^{n^2})`=[/tex]
[tex](n+1)` \cdot e^{n^2} + (n+1) \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]1 \cdot e^{n^2} + 2n^2+2ne^{n^2}[/tex]
Blir det riktig slik?
For [tex]\: P_{1} \:[/tex] har vi;
[tex](1 \cdot e^{n^2})`=2ne^{n^2}[/tex]
For [tex] \: P_{n} \:[/tex] har vi;
[tex](n \cdot e^{x^2})`=n` \cdot e^{n^2}+n \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]1 \cdot e^{n^2}+n \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]e^{n^2}+2n^{2}e^{n^2}[/tex]
For [tex]\: P_{n+1} \:[/tex] har vi;
[tex]((n+1) \cdot e^{n^2})`=[/tex]
[tex](n+1)` \cdot e^{n^2} + (n+1) \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]1 \cdot e^{n^2} + 2n^2+2ne^{n^2}[/tex]
Blir det riktig slik?
Vet ikke helt om jeg forstår hva du prøver å gjøre.
n=1 er grei.
Så skal du anta at det stemmer for n=k.
Mao. Du antar at [tex][e^{x^2}]^{(n)}=p(x)_ne^x^2[/tex]
Hvor p(x) er et n-tegradspolynom.
Nå skal du vise at dette medfører at påstanden stemmer for n=k+1. Dette gjør vi ved å derivere [tex][e^{x^2}]^{(n)}[/tex]:
[tex][p(x)_ne^x^2]^,=p^,(x)e^x^2+2xp(x)e^{x^2}=(p^,(x)+2xp(x))e^{x^2}[/tex]
Og nå ser vi jo at dette er et n+1-gradspolynom fordi siden p(x) er et n-tegradspolynom, er xp(x) et n+1-gradspolynom.
QED.
n=1 er grei.
Så skal du anta at det stemmer for n=k.
Mao. Du antar at [tex][e^{x^2}]^{(n)}=p(x)_ne^x^2[/tex]
Hvor p(x) er et n-tegradspolynom.
Nå skal du vise at dette medfører at påstanden stemmer for n=k+1. Dette gjør vi ved å derivere [tex][e^{x^2}]^{(n)}[/tex]:
[tex][p(x)_ne^x^2]^,=p^,(x)e^x^2+2xp(x)e^{x^2}=(p^,(x)+2xp(x))e^{x^2}[/tex]
Og nå ser vi jo at dette er et n+1-gradspolynom fordi siden p(x) er et n-tegradspolynom, er xp(x) et n+1-gradspolynom.
QED.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
