Omdreiningsgjenstand

[lodve]

Omdreiningsgjenstander kan også lages ved å rotere funksjoner om y-aksen.

Hva blir volumet til omdreningsgjenstanden som dannes når vi dreier funksjonen f(x) = 2x -1 om y-aksen fra f(x) = 1 og f(x) = 4.

Fikk denne oppgaven på prøven i dag, og må si at jeg slet veldig med å løse den. Er det en der ute som klarer å løse denne oppgaven? Da hadde satt stor pris på det.

[meCarnival]

[tex]y = 2x - 1 \Rightarrow x = \frac{y+1}{2}[/tex]

[tex]V = \int_1^7\pi \(\frac{y+1}{2} \)^2 dy[/tex]

[tex]V = \pi \int_1^7 \frac{(y+1)^2}{4} dy[/tex]

[tex]V = \pi \int_1^7 \frac{y^2+2y+1}{4} dy[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \(\int_1^7 y^2 dy + \int_1^7 2y dy +\int_1^7 1 dy \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \[ \frac{y^{2+1}}{2+1} + \frac{2y^{1+1}}{1+1} + y \]_1^7[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \[ \frac{y^3}{3} + y^2 + y\]_1^7[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \( \( \frac{7^3}{3} + 7^2 + 7\) - \( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \) \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \( \frac{511}{3} - \frac{7}{3} \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \( \frac{511-7}{3} \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{504}{3}[/tex]

[tex]V = \frac{504\pi}{12}[/tex]

[tex]\underline{\underline{V = 42\pi}}[/tex]

[Gommle]

En metode du kan bruke er å løse funksjonen for x, og så rotere den funksjonen.

[tex]y=2x-1[/tex]
[tex]x=(y+1)/2 \,\,\Rightarrow\,\, x(y) = \frac12 y+\frac12[/tex]

De nye grensene blir x=f(1) og x=f(4), altså x=1 og x=7

[tex]V = \pi \int_1^7 x(y)^2 \, dy = 42\pi[/tex]

Veldig usikker på dette.

Edit: Fikset masse dritt. Glemte å ta ^2...

[lodve]

[tex]y = 2x - 1 \Rightarrow x = \frac{y+1}{2}[/tex]

[tex]V = \int_1^7\pi \(\frac{y+1}{2} \)^2 dy[/tex]

[tex]V = \pi \int_1^7 \frac{(y+1)^2}{4} dy[/tex]

[tex]V = \pi \int_1^7 \frac{y^2+2y+1}{4} dy[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \(\int_1^7 y^2 dy + \int_1^7 2y dy +\int_1^7 1 dy \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \[ \frac{y^{2+1}}{2+1} + \frac{2y^{1+1}}{1+1} + y \]_1^7[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \[ \frac{y^3}{3} + y^2 + y\]_1^7[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \( \( \frac{7^3}{3} + 7^2 + 7\) - \( \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \) \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \( \frac{511}{3} - \frac{7}{3} \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \( \frac{511-7}{3} \)[/tex]

[tex]V = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{504}{3}[/tex]

[tex]V = \frac{504\pi}{12}[/tex]

[tex]\underline{\underline{V = 42\pi}}[/tex]

Kan du forklare mer hvorfor du har brukt integrasjonsgrensene y = 1 og y = 7, er litt usikker her.

[Gustav]

Kan du forklare mer hvorfor du har brukt integrasjonsgrensene y = 1 og y = 7, er litt usikker her.

Det skal nok være fra 1 til 4...

[meCarnival]

Kan du forklare mer hvorfor du har brukt integrasjonsgrensene y = 1 og y = 7, er litt usikker her.

Det skal nok være fra 1 til 4...

Jeg gjorde med y = 1 og y = 4 først, men så postet gommle ut sitt volum som han hentet fra Wolframalpha i etterkant, så så jeg at jeg hadde glemt å gjøre om grensene... Slik at det blir [tex]42\pi[/tex]
Omgjøring av grensene gjør man siden du bytter om funksjonen med hensyn på y og ikke x lengre...


Med y = 1 og y = 4 er noe jeg mener skal være riktig og da fikk jeg [tex]\frac{59\pi}{6}[/tex], men er litt usikker...

[lodve]

Ok, jeg tror jeg har forstått hvordan man går fram på oppgaven. Men jeg skjønner fremdeles ikke hvorfor vi må snu på funksjonen med hensyn på y, for så å anvende integrasjonsregelen for volumet av omdreiningslegeme.

[meCarnival]

[lodve]

Ok, får vel bare godta det, da du har postet ut ett avsnitt fra boka som bekrefter dette

[Dinithion]

Har du skjønt ingegrasjonsformelen for omdreiningslegemer? Hvis du har skjønt den, så er det ikke så vanskelig å skjønne hvorfor du må snu på formelen.

Når du integrerer så lager du tynne skiver av arealet og summerer disse. Summen av høyde * bredde, altså summen av f(x) * delta x. Det er jo det integralregning er. Summering av funksjonsverdier ganget med bredden på skiven. Så lar du denne skiven bli mindre og mindre, og lar den gå mot 0. Da får du en eksakt verdi for arealet og ikke en tilnærming.

Så. Hva er arealet av en sirkel? pi*r^2. Når vi tar en funksjon, i.e. f(x)=2x og roterer om x aksen, hva er radiusen? Den varierer. Radiusen i a er f(a) = 2a. Hva er arealet av ett snitt i a? A = pi*f(a)^2. Altså er funksjonsverdien radiusen. Og volumet av en skrive? Areal * bredde, pi*f(a)^2 * bredde. Du skjønner vel poenget, om du ikke har gjort det hele tiden

Men hvordan roterer du funksjonen rundt y-aksen? Tegn litt, eller lag grafer med fingrene og visualiser hva som skjer. Når du roterer 2x rundt x-aksen, så får du en helt annen "skål" enn om du roterer rundt y-aksen.

Jeg vet ikke om det var oppklarende eller forvirrende. Men poenget er ihvertfall at om du prøver å visualisere hva du holder på med, så er det _egentlig_ ikke så vanskelig å skjønne hvorfor du må snu funksjonen for å rotere om den andre aksen

[meCarnival]

Ok, får vel bare godta det, da du har postet ut ett avsnitt fra boka som bekrefter dette

Det fins fire formler for det, to forskjellige metoder... Den er hentet fra mitt Matte 1 formelhefte og her er hele:



Jeg brukte den andre formelen til skivemetoden, siden det er den eneste som oppfyller dine krav.. Er alltid kun en som oppfyller, så kjekt å lære seg forskjellen på de... Men hvorfor jeg gjorde om så ser du at du har en [tex]y = 2x -1[/tex] som er [tex]y(x)[/tex] og hvis du ser på formelen så er det [tex]x(y) = \frac{y}{2}+1[/tex] som blir formelen [tex]x = g(y)[/tex] for å få i hele tatt lov bruke formelen...

Håper du får bruk for denne videre

[lodve]

Jeg tror jeg har forstått det nå. Hvis du snur y- og x-aksen henholdsvis horisontalt og vertikalt, så blir du jo nødt til å snu om funksjonen med hensyn på x. Og da er jo integrasjonsgrensene y = 1 og y = 4. (Har tegnet en tegning i boka)

Har tenkt igjennom dette i dag, og kom nettopp på at det faktisk er mulig å snu om x- og y-aksen på akkurat samme måte som med en funksjon.

Takk for hjelpen.

[96xy]

Hei

Du har ikkje andre oppgåver du syntest var vanskeleg på prøven? Skal ha prøve i morgon, har lyst på litt øvingsoppgåver.. .

[meCarnival]

dårlig tid, men dette skal vel være noe i samme sjiktet?

[96xy]

Ein ting ang. den fyrste oppgåva. Eg fekk i svar (39/4) * pi då eg nytta integrasjonsgrensene 1 og 4......
Dette vart kanskje feil, men følte at det ikkje var heilt klart kva som var svaret..

På den andre oppgåva fekk eg at arealet var 36, stemmer dette ? ?