Binomialkoeffisient bevis

[Wentworth]

Vi vet at ;

[tex]{n+1 \choose i}={n \choose i-1}+{n \choose i}[/tex]

Men hvordan er denne utregningen gjort? ,altså for disse to;


[tex]{n \choose i-1}+{n \choose i}[/tex]

Jeg prøvde og kom til følgende;

[tex]\frac{n!}{(i-1)!(n-(i-1))!} + \frac{n!}{i!(n-i)!}[/tex]

Hvis skjer videre? slik at jeg kan få uttrykket;

[tex]\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]
for det er dette som er binomialkoeffisienten;
[tex]{n+1 \choose i}[/tex]

[FredrikM]

To hint:

1. Fellesnevner.

2. [tex]\frac{n!}{(n-i)!}=n!(n-1)...(n-i+1)[/tex]

[Wentworth]

[tex]\frac{n!}{(n-i)!}=n!(n-1)...(n-i+1)[/tex]

Hvordan er det mulig at hvis du ganger nevneren med venstre siden så sitter du igjen med n! ?

[Gustav]

[tex]\frac{n!}{(n-i)!}=n!(n-1)...(n-i+1)[/tex]

Hvordan er det mulig at hvis du ganger nevneren med venstre siden så sitter du igjen med n! ?

Her er det kanskje instruktivt å se på spesialtilfellet:

Vi har jo at [tex]\frac{10!}{4!}=\frac{10*9*8*7*6*5*4*3*2}{4*3*2}=10*9*8*7*6*5[/tex]

[Wentworth]

Likevel tror jeg ikke han brude ha utropstegn på høyre siden av likningen sin.

Men hvordan blir det så med oppgaven min da, hva må jeg gange med for å bevist fram til binomialkoeffisienten jeg vil fram til?

Altså;
Fra denne;

[tex]\frac{n!}{(n-1)!(n-(i-1))!} + \frac{n!}{i!(n-i)!}[/tex]

til denne;

[tex]\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]
for det er dette som er binomialkoeffisienten;
[tex]{n+1 \choose i}[/tex]

[Gustav]

Du bruker feil definisjon

Det skal være

[tex]\frac{n!}{(n-(i-1))!(i-1)!}[/tex]

Hint:

Bruk at [tex]n!=n\cdot (n-1)![/tex]

[FredrikM]

[tex]\frac{n!}{(n-i)!}=n!(n-1)...(n-i+1)[/tex]

Hvordan er det mulig at hvis du ganger nevneren med venstre siden så sitter du igjen med n! ?

Du har helt rett. Jeg rotet litt. Skal ikke være "utropstegn" på høyresiden.

[espen180]

! kalles en fakultetsoperator.

[Wentworth]

! er en fakultetsoperator.

Hva trodde du ellers.hehe

[Wentworth]

[tex]\frac{n!}{(i-1)!(n-(i-1))!} + \frac{n!}{i!(n-i)!}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]

Sånn da er dette over riktig.
Nå skal jeg plusse sammen de to brøkene på venstre siden så jeg får et uttrykk som er lik høyrsiden.

Dermed får jeg ;
[tex]\frac{n!}{(i-1)!(n-(i-1))!} + \frac{n!}{i!(n-i)!}[/tex]

[tex]\frac{n!}{(i-1)!(n+1-i)!} + \frac{n!}{i!(n-i)!}[/tex]

[tex]i!=i \cdot (i-1)![/tex]


[tex]\frac{n \cdot (n-1)!}{(i-1)!(n+1-i)!} \cdot \frac{i}{i}+ \frac{n \cdot (n-1)!}{i!(n-i)!} \cdot \frac{(n+1-i)}{(n+1-i)}[/tex]

Det gir;

[tex]\frac{n \cdot (n-1)! i}{i!(n+1-i)!} + \frac{n \cdot (n-1)!(n+1-i)}{i!(n-i)!(n+1-i)}[/tex]

Setter m=n+1-i og fikser på nevneren for den andre brøken på venstresiden.

[tex]\frac{n \cdot (n-1)! i}{i!(n+1-i)!} + \frac{n \cdot (n-1)!(n+1-i)}{i!(n-i)! \cdot (n+1-i)}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]

[tex]\frac{n \cdot (n-1)! i}{i!(n+1-i)!} + \frac{n \cdot (n-1)!(n+1-i)}{i! \cdot (n+1-i)!}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]

[tex]\frac{n \cdot (n-1)! i+ n \cdot (n-1)!(n+1-i)!}{i! \cdot (n+1-i)!}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]

[tex]\frac{n ! i+ n !(n+1-i)}{i! \cdot (n+1-i)!}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]

[tex]\frac{n!(n+1)}{i! \cdot (n+1-i)!}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]

[tex]\frac{(n+1)!}{i! \cdot (n+1-i)!}=\frac{(n+1)!}{i!(n+1-i)!}[/tex]


Og dermed er beviset utført.