Statistikk igjen

[Terning]

Jeg poster hele oppgaven her jeg. Jeg trenger ikke hjelp til hele, bare deler av den.

Let $Y_1,Y_2,...,Y_n$ be a random sample of size $n$ from a normal pdf having $\mu =0$. Show that $S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i^2$ is a consistent estimator for ${\sigma }^2=Var(Y)$.

Men i mine utregninger trenger jeg å vite hva $Var(Y^2)$ er for noe... og det er det jeg trenger hjelp med. Mulig det er ganske straightforward siden $\mu =0$, men jeg vet ikke...

Noen snille smarte som kan hjelpe meg? =)

[Terning]

Tenkte forøvrig å bruke Chebyshevs ulikhet for å løse dette... huff.

EDIT

Ifølge den skulle $P(|S_n^2|<ϵ)>1-\frac{Var(S_n^2)}{{ϵ}^2}$, og da er det vel klart at jeg trenger $Var(Y^2)$?

Huff, ble helt desperat nå jeg.

[Terning]

Hm... eller blir det rett og slett $Var(Y{)}^2$?

[fish]

En stund siden jeg drev med dette nå, men du ser ut til å være på rett spor. Du bør vurdere om du får bruk for at $Var(Y^2)=E(Y^4)-(E(Y^2){)}^2$

Da jeg regnet på det, fikk jeg $Var(S_n^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n}$

[Terning]

Blir det ikke helt syke utregninger, med fjerdemomentet inne i bildet?

[Terning]

En stund siden jeg drev med dette nå, men du ser ut til å være på rett spor. Du bør vurdere om du får bruk for at $Var(Y^2)=E(Y^4)-(E(Y^2){)}^2$

Da jeg regnet på det, fikk jeg $Var(S_n^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n}$

Jeg klarte visst å regne det ut allikevel, og fikk akkurat samme svar som deg. Tusen takk for hjelpen! Jeg tror jeg har fått det til nå...

[Gustav]

Hadde vært fint å sett hvordan du bruker Chebyshevs ulikhet til å vise at estimatoren er konsistent...

[Terning]

Jo, den sier jo, i den utgaven som den står på i min lærebok, at $P(|S_n^2-{\sigma }^2|<ϵ)\ge 1-\frac{Var(S_n^2)}{{ϵ}^2}=1-\frac{2{\sigma }^4}{n{ϵ}^2}$. Så for $ϵ,\delta ,{\sigma }^2$ så kan vi alltids finne en $n$ slik at $\frac{2{\sigma }^4}{n{ϵ}^2}<\delta$. Derfor vil $P(|S_n^2-{\sigma }^2|<ϵ)=1$ om $n\to \mathrm{\infty }$.