Eksamen R2 20.05.09

[moth]

Ja, det er sant, jeg mente egentlig følgen. Men vil det si at i følgen a_n er d=1?
Og er det mulig å regne seg fram til det? Finner ingen formler for aritmetiske følger.

[Gustav]

Ja, det er sant, jeg mente egentlig følgen. Men vil det si at i følgen a_n er d=1?
Og er det mulig å regne seg fram til det? Finner ingen formler for aritmetiske følger.

Ja, for følgen {a_n} er d=1 siden

a_0=1
a_1=2
a_2=3
a_3=4

etc. Derfor er $a_{n+1}-a_n=1$ for alle n

[moth]

Ja, det er jeg med på. Men oppgaven sier at $a_n=1+2+3+...+n$ så det er derfor jeg ikke skjønner helt og når jeg skulle finne a_1, a_2, a_3 etc i en annen oppgave så var de 1, 3, 6 osv.
Men ihvertfall så skjønner jeg at jeg må lese mer om dette

[Gustav]

Ok, jeg brukte ikke samme notasjon som i oppgaven. Det er klart at {a_n} (slik den er definert i oppgaven) er en aritmetisk rekke, dvs. summen av en aritmetisk følge b_n slik at b_{n+1}-b_n=1. og a_n=b_0+b_1+...+b_n

[moth]

Ja, jeg syns den oppgaven var litt dårlig formulert kanskje. Men jeg begynner å forstå litt mer no ihvertfall. Takk for hjelpen

[mepe]

Jeg sitter her og løse gamle eksamensoppgave for R2, og skulle sjekke mine løsninger. Så fandt denne tråd, jeg forstår bare ikke helt løsningen til 5d, jeg har løst den som følger, er der en der kan overskue hva som er den korrekte løsning?

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_n=s_n$

$1+3+6+10+15+.........\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

tester for n=1

$\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(1+1)(1+2)}{2}$

1=1, så OK

forutsetter at n=t

$1+3+6+10+15+............\frac{t(t+1)}{2}=\frac{t(t+1)(t+2)}{6}$

tester for n =t+1

$1+3+6+10+15+............\frac{t(t+1)}{2}+\frac{(t+1)((t+1)+1)}{2}=\frac{t+1((t+1)+1)((t+1)+2)}{6}$

$\frac{t(t+1)(t+2)}{6}+\frac{(t+1)(t+2)}{2}=\frac{(t+1)(t+2)(t+3)}{6}$

når alt er regnet sammen så

$\frac{t^3+6t^2+11t+6}{6}=\frac{t^3+6t^2+11t+6}{6}$

Da V.S.= H.S. er dette bevist

d) Bruk induksjon til å bevise at formelen $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ er riktig.

Vi har rekken: $1+4+10+20+35+...+A_n=S_n$

Sjekker om formelen stemmer for n=1.

$S_1=1$

$S_1=\frac{1(1+1)(1+2)}{6}=1$

Venstre side = Høyre side, formelen stemmer da for n=1.

Antar at formelen er rett for n=k

$1+4+10+20+35+...+a_k=S_k$

Formelen må da være rett for n=k+1.

$1+4+10+20+35+...+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}$

$1+4+10+20+35+...+\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}$

$1+4+10+20+35+...+a_k$ Definerte jo vi som $S_k$ tidligere, så hvis $S_k+a_{k+1}=S_{k+1}$. Stemmer formelen for allle heltallige verdier av n, som er slik at $n\ge 1$

$\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}\cdot \frac{3}{3}$

$\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{6}$

Etter å ha bearbeidet denne litt, ender du opp med

$\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}$ Q.E.D

[Andreas345]

Begge løsningene er jo korrekte, cluet er jo bare å bevise at $S_k+a_{k+1}=S_{k+1}$

Jeg ser nå at det skulle ha stått 1+3+6+10+15 istedenfor 1+4+10+20+35, men det forandrer ikke måten oppgaven har blitt løst på.

[mepe]

bra! takk for rask svar

[Realist1]

$\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(1+1)(1+2)}{2}$

1=1, så OK

??

[drgz]

$\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(1+1)(1+2)}{2}$

1=1, så OK

??

Har du ikke lært at 1 = 3 ?

[mepe]

hehehe!! - jo men det er så lenge siden!!

sry feil nevner på siste brøk ... skal være



$\frac{1(1+1)}{2}=\frac{1(1+1)(1+2)}{6}$

så blir
$1=1$

[Erikj]

Hei

hvilke regler brukes på 4 b) når du gjør om cos^2(x) om til 1 - sin^2(x)

[ettam]

En av de mest kjente! Og enkleste;)

Se øverst på siden her.

[realreal1]

Jeg skjønner fortsatt ikke framgangsmåten/tankemåten for løsningene på oppgave 5b og 5c. Kan noen forklare vær så snill?