Grenseverdiproblem m. analysens fundamentalteorem

[Betelgeuse]

Hey jeg lurte på et grenseverdiproblem her:

[tex]\lim_{x\to\0} \frac{\int_{0}^{x^2} \frac{sint}{t}dt}{\int_{0}^{x^2} te^{\sqrt(t)}dt}[/tex]

Ser at arealfunksjonene både oppe og nede går mot null og kan derfor bruke L'höpital og derivere oppe og nede ved å bruke analysens fundamentalteorem.
Men etter det går det bare skeis.. Svaret for denne grensen skal ifølge fasit være 2. Noen som kan vise meg hvordan jeg kommer frem til det?

[mrcreosote]

Hva får du når du deriverer med analysens fundamentalteorem? Husk at øvre grense er x^2 og ikke x slik at kjerneregelen kommer inn i bildet.

[Betelgeuse]

Jepp og da får jeg

[tex] \lim_{x\to\0} \frac{\frac{2xsinx(x^2)}{x^2}}{2x^3e^x}[/tex]

Når jeg setter inn den øvre integralgrensen for t og ganger med 2x oppe og nede. Er dette feil?

[mrcreosote]

Neida, ser rimelig ut dette bortsett fra en liten trykkfeil med sin, skal bare være sin(x^2). Forkorter du litt, er du ikke så langt fra svaret.

[Betelgeuse]

mjaa.. hvis jeg forkorter så sitter jeg igjen med

[tex]\lim_{x\to\0} \frac{sin(x^2)}{x^4e^x}[/tex]

som forsåvidt også går mot null både over og under brøkstreken. Men deriverer jeg her så blir uttrykket bare værre.

Jeg lurte på om jeg kunne bruke at

[tex]\lim_{x\to\0} \frac{sin(x^2)}{x^2} = 1[/tex]

og faktorisere dette ut for så å ta grenseverdien av de individuelle faktorene, men da sitter jeg også igjen med et utrykk som går mot 1/0...?

[mrcreosote]

Det kan du gjøre, bra. Du får altså et uttrykk som går mot 1/0 (mot 0 ovafra), så grenseverdien blir pluss uendelig.

[Betelgeuse]

Isåfall så er jeg lykkelig! Men fasiten sier nå en gang at grenseverdien er 2.

Trykkleif?

[mrcreosote]

Hvis du endrer øvre grense i integralet i nevneren til x, ender du opp med 2. Ta en titt her: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... il3utg.pdf

Du har uansett forstått konseptet virker det som.

[Betelgeuse]

Allright! Jammen da var det jo bankers. Tusen takk og god natt