Gitt at et rom har en konstant temperatur på 20 grader. I det du kommer inn i rommet finner du en gjenglemt kopp kaffe. Du måler temperaturen på kaffen til 40 grader. 1 minutt senere har temperaturen i kaffen falt med 1 grad. Dersom en rykende fersk kaffe skal ha en temperatur på 80 grader, hvor lenge har da kaffekoppen stått i rommet?
Løsningsforslag:
OK, her regner jeg med at jeg kan bruke Newtons nedkjølingslov. Det som imidlertid gjør meg litt usikker er hvorvidt jeg skal sette y(0) = 40 eller y(0) = 80. 80 grader er jo den temperaturen kaffen har når den er "ny", men i og med at vi ikke vet hvor lang tid det har gått før den er henholdsvis 40 og 39 grader (som jo nettopp er det svaret vi skal finne) har jeg brukt y(0) = 40 som utgangspunkt for å finne en formel.
Deretter går jeg frem som følger:
y(0) = 40
y(1) = 39
Ved bruk av Newton får jeg da:
u(0) = 40 - 20 = 20
u(1) = 40 - 39 = 19
Likningen blir:
u(t) = 20e^(kt)
Vi får videre:
19 = 20e^k(1)
e^k = 19/20
k = ln (19/20)
Likningen blir da:
u(t) = 20e^(ln(19/20))t
Jeg skal så finne ut hvor lenge det er siden temperaturen på kaffen var 80 grader. Jeg bruker Newton og får da 80 - 20 = 60:
60 = 20e^(ln(19/20))t
3 = e^(ln(19/20))t
t = (ln(3)) / (ln(19/20))
t = - 21, 42
Altså er det 21,42 = 21 minutter og 25 sekunder siden kaffen var ny.
Har jeg gjort dette riktig? Er som sagt usikker på om jeg har valgt rett verdi for y(0) og om tankegangen min er riktig. Setter pris på kommentarer!
Differensiallikning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Newtons avkjølingslov:
[tex]\frac{dT}{dt}=k(T-20)[/tex] som har løsning
[tex]\int \frac{dT}{T-20}=\int k\,dt[/tex]
[tex]T=T_ce^{kt}+20[/tex]
[tex]T(0)=T_c+20=80[/tex] så [tex]T_c=60[/tex];
[tex]T(t)=60e^{kt}+20[/tex]
Siden
[tex]T(t_1)=60e^{kt_1}+20=40[/tex] og
[tex]T(t_1+1)=60e^{k(t_1+1)}+20=39[/tex] finner vi [tex]t_1[/tex] ut fra disse to ligningene. Her er [tex]t_1[/tex] tida mellom kaffen hadde 80 og 40 grader.
[tex]60e^{kt_1}=20[/tex]. Innsatt i ligning 2 fås
[tex]20e^k=19[/tex] så [tex]k=ln(\frac{19}{20})[/tex] Da er
[tex](\frac{19}{20})^{t_1}=\frac{1}{3}[/tex] så
[tex]t_1=\frac{ln \frac{1}{3}}{ln \frac{19}{20}}\approx 21.42[/tex]
[tex]\frac{dT}{dt}=k(T-20)[/tex] som har løsning
[tex]\int \frac{dT}{T-20}=\int k\,dt[/tex]
[tex]T=T_ce^{kt}+20[/tex]
[tex]T(0)=T_c+20=80[/tex] så [tex]T_c=60[/tex];
[tex]T(t)=60e^{kt}+20[/tex]
Siden
[tex]T(t_1)=60e^{kt_1}+20=40[/tex] og
[tex]T(t_1+1)=60e^{k(t_1+1)}+20=39[/tex] finner vi [tex]t_1[/tex] ut fra disse to ligningene. Her er [tex]t_1[/tex] tida mellom kaffen hadde 80 og 40 grader.
[tex]60e^{kt_1}=20[/tex]. Innsatt i ligning 2 fås
[tex]20e^k=19[/tex] så [tex]k=ln(\frac{19}{20})[/tex] Da er
[tex](\frac{19}{20})^{t_1}=\frac{1}{3}[/tex] så
[tex]t_1=\frac{ln \frac{1}{3}}{ln \frac{19}{20}}\approx 21.42[/tex]