System av ODE. - løsn. passer ikke i realiteten

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
djs
Cayley
Cayley
Posts: 67
Joined: 10/08-2006 18:02

Jeg har følgende tre diff. likninger (se tidligere tråd):

[tex]\frac{dS}{dt}=aP[/tex]
[tex]\frac{dP}{dt}=-b(S-D)[/tex]
[tex]\frac{dD}{dt}=-cP[/tex]

Som har løsningen:

[tex]P(t)= k \sin{({\omega}t + \varphi})[/tex]
[tex]S(t)=-\frac{ak}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + S_0[/tex]
[tex]D(t)=\frac{ck}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + D_0[/tex]

hvor: [tex]{\omega}^2=b(a+c)[/tex]

Problemet er at dette gir en periodisk løsning av P(t), mens P ikke i realiteten kan være periodisk, den er nok mer eksponentiell, mens den svinger som en sinus på vei oppover, som en rett linje som svinger som en sinus.

Lar jeg D(t) være på formen
[tex]D(t)=a_1 + a_2 \cos({{a_3}t + a_4}) + a_5 \exp({{a_6}t})[/tex]
får jeg derimot en mer rett utvikling, men denne løsningen passer ikke i systemet av diff. likninger.

Så, hvordan skal jeg finne en D, S og P som løser systemet mitt og som har en eksponentiell vekst, men som i tillegg svinger på vei opp?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Jeg tar meg den friheten å sitere meg selv:
plutarco wrote: Men som sagt, dette spesielle problemet kan jo løses mye lettere enn dette ved å observere at [tex]\frac{d^2P}{dt^2}=-b(aP+cP)=-b(a+c)P[/tex], en lineær 2.ordens homogen ligning.
Ser vi på karakteristisk ligning fås

[tex]\lambda^2=-b(a+c)[/tex] så

[tex]\lambda=\pm\sqrt{-b(a+c)}[/tex]

Siden konstantene er positive blir

[tex]\lambda=\pm\sqrt{b(a+c)}i[/tex] så generell løsning blir

[tex]P(t)=C_1e^{-\sqrt{b(a+c)}ti}+C_2e^{\sqrt{b(a+c)}ti}[/tex]. Her må vi ha ytterligere informasjon om startverdier for å finne konstantene C_1 og C_2.
Post Reply