System av ODE. - løsn. passer ikke i realiteten

[djs]

Jeg har følgende tre diff. likninger (se tidligere tråd):

[tex]\frac{dS}{dt}=aP[/tex]
[tex]\frac{dP}{dt}=-b(S-D)[/tex]
[tex]\frac{dD}{dt}=-cP[/tex]

Som har løsningen:

[tex]P(t)= k \sin{({\omega}t + \varphi})[/tex]
[tex]S(t)=-\frac{ak}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + S_0[/tex]
[tex]D(t)=\frac{ck}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + D_0[/tex]

hvor: [tex]{\omega}^2=b(a+c)[/tex]

Problemet er at dette gir en periodisk løsning av P(t), mens P ikke i realiteten kan være periodisk, den er nok mer eksponentiell, mens den svinger som en sinus på vei oppover, som en rett linje som svinger som en sinus.

Lar jeg D(t) være på formen
[tex]D(t)=a_1 + a_2 \cos({{a_3}t + a_4}) + a_5 \exp({{a_6}t})[/tex]
får jeg derimot en mer rett utvikling, men denne løsningen passer ikke i systemet av diff. likninger.

Så, hvordan skal jeg finne en D, S og P som løser systemet mitt og som har en eksponentiell vekst, men som i tillegg svinger på vei opp?

[Gustav]

Jeg tar meg den friheten å sitere meg selv:

Men som sagt, dette spesielle problemet kan jo løses mye lettere enn dette ved å observere at [tex]\frac{d^2P}{dt^2}=-b(aP+cP)=-b(a+c)P[/tex], en lineær 2.ordens homogen ligning.

Ser vi på karakteristisk ligning fås

[tex]\lambda^2=-b(a+c)[/tex] så

[tex]\lambda=\pm\sqrt{-b(a+c)}[/tex]

Siden konstantene er positive blir

[tex]\lambda=\pm\sqrt{b(a+c)}i[/tex] så generell løsning blir

[tex]P(t)=C_1e^{-\sqrt{b(a+c)}ti}+C_2e^{\sqrt{b(a+c)}ti}[/tex]. Her må vi ha ytterligere informasjon om startverdier for å finne konstantene C_1 og C_2.