Førsteordens linære differensiallikninger

[pushittothelimit]

Fra Kalkulus.
Kap 4.5: Eksakt løsning av førsteordens linære differensiallikninger.

Trenger hjelp med denne oppgaven...

Oppgave 1 a)

[tex]y\prime-3y=e^{2x}[/tex], [tex]y(0)=0[/tex]

Så langt har jeg gjort følgene...

[tex]f(x)=-3[/tex]
[tex]g(x)=e^{2x}[/tex]
[tex]F(x)=-3x[/tex]
[tex]h(x)=e^{F(x)}=e^{-3x}[/tex]
Ganger h(x) på begge sider og får:
[tex](e^{-3x}*y)\prime=e^{-3x}*e^{2x}[/tex]
[tex]y*e^{-3x}=\int e^{2x}*e^{-3x}dx[/tex]

Er dette rett så langt? Nå skal jeg antiderivere men får ikke likt svar som i fasit.

Svaret i boken er:
[tex]e^{3x}-e^{2x}[/tex], [tex]x \in R[/tex]

Noen som kan hjelpe meg?

[sirins]

Syns det ser riktig ut så langt..

Husk at

[tex] e^{2x} \cdot e^{-3x} = e^{-x} [/tex]

[pushittothelimit]

Ok, det forstår jeg, men ser ikke helt hvordan jeg kommer frem til riktig svar...

[tex]u=e^{-x}[/tex]
[tex]u\prime=-e^{-x}[/tex]

Deretter kan jeg dele begge sider med [tex]e^{-3x}[/tex]

Da får jeg: [tex]y=\frac{-e^{-x}}{e^{-3x}}[/tex]

Som betyr: [tex]y=-e^{-x}*e^{3x}[/tex] (Jeg skrev feil)

Det er ikke så veldig ulikt svaret, men det er ikke likt.

Trolig trenger jeg en kopp kaffe.

Ser du noe som jeg ikke ser?

[sirins]

Hehe

Alle antideriverte til [tex]e^{-x}[/tex] kan skrives på formen [tex]-e^{-x} + C[/tex]

Så må du dele med [tex] e^{-3x} [/tex] på begge sider for å få y alene..

[pushittothelimit]

Holdt på å redigere innlegget mitt, mens du svarte, har komt frem til det, men det er ikke helt likt svaret. Hva er det jeg ikke ser?

[meCarnival]

[tex]-\frac{e^{-y}}{e^{-3y}}=-e^{-y} \cdot {e^{3y}}[/tex]

[pushittothelimit]

Jeg ser ikke sammenhengen mellom dette og svaret.

[sirins]

Jeg får:

[tex] y \cdot e^{-3x} = -e^{-x} + C [/tex]

[tex] y = \frac{-e^{-x}+C}{e^{-3x}}[/tex]

[tex] y = \frac{-e^{-x}}{e^{-3x}}+\frac{C}{e^{-3x}}[/tex]

[tex] y = -e^{2x} + Ce^{3x}[/tex]

Så setter du inn initialbetingelsen

[pushittothelimit]

Aha!

Tusen takk for hjelpen! Jeg tror jeg er ferdig med matte for i dag, når jeg ikke ser dette en gang.

Natta!