[tex]2y\prime\prime+y\prime-y=2x[/tex]
Mitt svar:
Ser at likningen er inhomogen, så jeg må først finne den generelle løsningen til:
[tex]2y\prime\prime+y\prime-y=0[/tex]
Skriver om til karakteristisk likning:
[tex]2r^{2}+r-1=0[/tex]
Bruker andregradslikningen, og kommer frem til at:
[tex]r_{1}=\frac{1}{2}[/tex] og [tex]r_{2}=-1[/tex]
Siden det er to ulike reelle røtter, er den generelle løsningen til den homogene likningen:
[tex]y=Ce^{\frac{1}{2}x}+De^{-x}[/tex]
Kaller dette [tex]y_{h}(x)[/tex]:
[tex]y_{h}(x)=Ce^{\frac{1}{2}x}+De^{-x}[/tex]
Må nå finne en løsning av den inhomogene likningen, kaller det [tex]y_{s}(x)[/tex], og deretter addere de for å finne den generelle løsningen til den inhomogene likningen.
Problemet er at jeg ikke er helt sikker på hvordan jeg skal finne [tex]y_{s}(x)[/tex].
Dette er hva jeg tror skal gjøres:
[tex]f(x)=2x[/tex]
[tex]y_{s}(x)=Ax+B[/tex]
[tex]y_{s}\prime(x)=A[/tex]
[tex]y_{s}\prime\prime(x)=0[/tex]
[tex]0+A-(Ax+B)=2x[/tex]
Er dette rett så langt? Det er bokstavlig talt forklart på gresk i læreboken min, håper noen her kan forklare dette til meg på norsk.
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Edit:
Ok, jeg tror jeg har funnet ut av det:
[tex]0+A-(Ax+B)=2x[/tex]
[tex]A-Ax-B=2x[/tex]
Dvs:
[tex]-Ax=2x[/tex]
[tex]A-B=0[/tex]
Dvs:
[tex]A=-2[/tex]
[tex]B=-2[/tex]
Da har vi: [tex]y_{s}(x)=-2x-2[/tex]
Generelle løsningen til den inhomogene likningen er da:
[tex]y=y_{h}(x)+y_{s}(x)[/tex]
[tex]y=Ce^{\frac{x}{2}}+De^{-x}+(-2x-2)[/tex]
[tex]y=Ce^{\frac{x}{2}}+De^{-x}-2(x+1)[/tex]
I fasiten er svaret:
[tex]y=Ae^{\frac{x}{2}}+Be^{-x}-2(x+1)[/tex]
Har 2 nye spørsmål nå:
1) Er dette rett metode for å finne [tex]y_{s}(x)[/tex]?
2) Jeg regner med at det ikke har noe å si at jeg bruker C og D, eller spiller det en rolle?
Håper noen kan svare meg!
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)