Beregning av vektorfluks gjennom en kule

[chrtsta]

Heisann.
Jeg skal regne ut vektorfluksen gjennom en kule plassert i origo med radius a. Vektorfeltet er gitt ved
$F=x\overrightarrow{i}+(2y+z)\overrightarrow{j}+(z+x^2)\overrightarrow{k}$.
Vektorfluksen er gjerne gitt ved
$Q={\int }_{\sigma }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma$.
Noen som kan hjelpe meg på vei med dette?

[Gustav]

Gjør om til kulekoordinater.

Har at

$dA=a^2\sin (\varphi )d\theta d\varphi$ så

${\iint }_{x^2+y^2+z^2=a^2}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}{a}^2\sin (\varphi )d\theta d\varphi$

Sett $$\begin{gathered} x=a\sin (\varphi )\cos (\theta ) \\ y=a\sin (\varphi )\sin (\theta ) \\ z=a\cos (\varphi ) \end{gathered}$$ i uttrykkene for vektorene F og n og beregn integralet.

[chrtsta]

Hm, ok, men hva mener du med dA? Og er egentlig normalvektoren som kanskje er det største problemet mitt. Hva er uttrykket for denne?

[Gustav]

$dA=d\sigma$, altså infinitesimalt flateareal på kuleflata.

Normalvektoren blir vel

$\frac{1}{a}<x,y,\sqrt{a^2-x^2-y^2}>$ på øvre halvkule.

[Gustav]

$\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}=\frac{1}{a}<x,2y+z,z+x^2><x,y,\sqrt{a^2-x^2-y^2}>$.

Har at $x^2+y^2=a^2{\sin }^2(\varphi )$ så da får vi

$$\begin{gathered} \frac{1}{a}(x^2+2y^2+yz+z\sqrt{a^2-x^2-y^2}+x^2\sqrt{a^2-x^2-y^2}) \\ =\frac{1}{a}(a^2{\sin }^2(\varphi )+y^2+yz+a(z+x^2)\cos (\varphi )) \end{gathered}$$

$az\cos (\varphi )=a^2{\cos }^2(\varphi )$ så

uttrykket forenkles til

$$\begin{gathered} \frac{1}{a}(a^2{\sin }^2(\varphi )+y^2+yz+a(z+x^2)\cos (\varphi ))=\frac{1}{a}(a^2({\sin }^2(\varphi )+{\cos }^2(\varphi ))+y^2+yz+a{x}^2\cos (\varphi )) \\ =\frac{1}{a}(a^2+y^2+yz+a{x}^2\cos (\varphi )) \end{gathered}$$.

$=a+a{\sin }^2(\varphi ){\sin }^2(\theta )+a\sin (\varphi )\cos (\varphi )\sin (\theta )+a^2{\sin }^2(\varphi ){\cos }^2(\theta )\cos (\varphi )$

Huff, voldsomt mye og lett og gjøre feil

[chrtsta]

Takk for det!
Jeg prøvde å regne ut integralet, men jeg fikk feil svar.
Det som derimot ser ut til å bli riktig er en mye enklere metode: å bruke Gauss sats (divergensteoremet). Da har vi
${\int }_{\sigma }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma ={\int }_{\tau }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}d\tau$, hvor ${\int }_{\tau }1d\tau =V_{\tau }=V_{kule}$,
så jeg får $Q=4V_{kule}=\frac{16\pi a^3}{3}$

[Gustav]

Takk for det!
Jeg prøvde å regne ut integralet, men jeg fikk feil svar.
Det som derimot ser ut til å bli riktig er en mye enklere metode: å bruke Gauss sats (divergensteoremet). Da har vi
${\int }_{\sigma }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma ={\int }_{\tau }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}d\tau$, hvor ${\int }_{\tau }1d\tau =V_{\tau }=V_{kule}$,
så jeg får $Q=4V_{kule}=\frac{16\pi a^3}{3}$

Smart!

Hadde vært artig å fått rett svar med den tungvinte metoden også da;) Men opplagt lettest å bruke satsen.

Husket du på å bruke rett enhetsnormalvektor på den nedre halvkula?

[tool-nes]

Låner denne tråden litt, i og med at jeg sitter med nøyaktig samme oppgave nå.

Takk for det!
Jeg prøvde å regne ut integralet, men jeg fikk feil svar.
Det som derimot ser ut til å bli riktig er en mye enklere metode: å bruke Gauss sats (divergensteoremet). Da har vi
${\int }_{\sigma }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}d\sigma ={\int }_{\tau }\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}d\tau$, hvor ${\int }_{\tau }1d\tau =V_{\tau }=V_{kule}$,
så jeg får $Q=4V_{kule}=\frac{16\pi a^3}{3}$

Noen som kan gi en utfyllende forklaring på dette her?
Jeg er ikke helt sikker på hva som skjer fra ledd til ledd..

Og hvordan kan jeg finne Q, når sentrum ikke går gjennom Origo lenger, men gjennom et annet punkt i vektorfeltet?
Kan jeg gjøre dette på samme måte?

Håper på svar her

[Karl_Erik]

Det som skjer er at vi bruker Gauss' sats, som sier at vektorfluksen av et felt gjennom en flate er lik integralet av divergensen til feltet over volumet omsluttet av flaten. Her betyr det at integralet vi vil regne ut (vektorfluksen av feltet over en kuleflate) er lik integralet av divergensen til feltet (som er konstant lik 4) over volumet av kulen omsluttet av kuleflata. Vi vet at integralet av en konstant funksjon over et volum er lik volumet ganger konstanten, så dette integralet blir altså lik fire ganger kulas volum.

Er dette MEK1100-obligen, forresten?

EDIT: Ser ut som posten ble redigert mens jeg svarte, så for å svare på det andre spørsmålet ditt: Ja, du kan gjøre det på samme måte. Om du bruker Gauss' sats blir utregningene akkurat det samme, da kulas volum ikke endres av at vi flytter den rundt i feltet. Du kan selvfølgelig også bruke kulekoordinater med sentrum et annet sted enn i origo selv om dette ikke blir spesielt pent.

[tool-nes]

Tror jeg skjønte litt mere nå ja

Ja, det var det jeg trodde, at den ikke ville forandre seg noe, og svaret vil bli samme på oppgave a) og b). Og ville blitt veldig mye utregning med kulekoordinater osv..

Dette er vel måten å finne divergensen til feltet?
$▽\cdot \overrightarrow{F}=\frac{\delta {\overrightarrow{F}}_x}{{\delta }_x}+\frac{\delta {\overrightarrow{F}}_y}{{\delta }_y}+\frac{\delta {\overrightarrow{F}}_z}{{\delta }_z}=4$

Og deretter integralet av dette
${\int }_{\sigma }▽\cdot \overrightarrow{F}d\sigma ={\int }_{\tau }\overrightarrow{F}d\tau$
Vi vet at $\int 1d\tau =V_{kule}$
Dermed har vi funnet ut at $Q=4V_{kule}=\frac{16\pi a^3}{3}$