Integrasjon - Substitusjon og Delvis Int.

[Zhai]

Oppgven sier som følger:
"Summeformelen for sinus sier at sin 2x = 2 sin x cos x. Regn ut
[symbol:integral]sin 2x dx og 2[symbol:integral]sin x cos x dx
ved henholdsvis substitusjon og delvis integrasjon. Svarene blir tilsynelatende forskjellige. Kommentarer?"

Greit, jeg har integrert [symbol:integral]sin 2x dx med substitusjon, og fikk som svar -1/2 cos 2x + C
Dette er skal vel være riktig, ikke sant?
Nå skal jeg integrere 2[symbol:integral]sin x cos x dx. Det er vel lettest å bruke substitusjon her, men oppgaven sier at jeg må bruke delvis integrasjon på denne. Så med delvis fikk jeg 1/2 cos x sin[sup]2[/sup]x + C, et svar som jeg nesten garantert tviler på er rett. Noen som kan vise meg en løsning her?

[yngevege]

Den første ser rett ut, men den andre kan gjøres slik.


[tex]2\int sin x cos x dx[/tex]

u = sin x v' = cox x
u' = cos x v = sin x

[tex]2\int sin x cos x dx = 2(sin^2 x - \int sin x cos x dx)[/tex]

[tex]2\int sin x cos x dx = sin^2 x + C[/tex]

Dersom du plotter disse ser du at det kun er konstanten som er forskjellig

[Andreas345]

[tex]\int sin(x)\cdot cos(x)[/tex]

[tex]u=sin(x) \ \ u\prime=cos(x)[/tex]

[tex]v\prime=cos(x) \ \ v=sin(x)[/tex]

[tex]\int sin(x)\cdot cos(x)=\sin^2(x)-\int sin(x)\cdot cos(x)[/tex]

[tex]2\int sin(x)\cdot cos(x)=\sin^2(x)+C[/tex]

Den første integralet du integrerte stemmer ja, det eneste som skiller de to tilsynelatende ulike svarene er en konstant C.

Husk forresten på at [tex]sin^2(x)+C=\frac{1}{2}-\frac{cos(2x)}{2}+C[/tex]

Da ser du det enda tydeligere.

Edit..for sen!

[Zhai]

hehe hyggelig å får svar, to hele svar samtidig faktisk!