Uegentlig integral

[krje1980]

Hei. Jeg har løst en oppgave som tar for seg et uegentlig integral. Jeg lurer på om fremgangsmåten min er riktig, og vil sette stor pris på om noen kan si om min metode er godkjent eller ikke.

Oppgaven er som følger:

[symbol:integral] e^x / (x + 1) dx

Integralet er definert i intervallet (-1, 1).


OK. Først av alt ser vi at -1 ikke er en gyldig løsning da dette vil gi 0 i nevner. Altså må vi se på hva som skjer i det vi nærmer oss -1 i en grenseverdi.

Videre ser vi at ettersom vi har x i nevner tyder det på at integralet divergerer. Vi må derfor finne et uttrykk som er mindre enn det gitte uttrykket for å sjekke om dette også divergerer.

Den laveste verdien vi kan få for e^x er ca 0,368 (det får vi ved å sette inn -1). Jeg setter derfor verdien 0,3 i teller og får uttrykket:

[symbol:integral] (3/10) / (x + 1) dx

Som gir: 3/10 * [symbol:integral] 1 / (x + 1) dx.

Vi løser og får 3/10 * ln(x + 1).

Når vi så skal sette verdiene -1 og 1 inn for å finne verdien av det bestemte integralet får vi 3/10*ln(2) - 3/10*ln(0).

ln(0) går selvsagt ikke an å løse, så vi ser heller, som påpekt tidligere, hva som skjer nå vi nærmer oss 0. Uttrykket ln(0) vil da nærme seg - [symbol:uendelig]. Altså får vi:

3/10*ln(2) - (- [symbol:uendelig] ) = [symbol:uendelig]

Dermed divergerer uttrykket.

Så, har jeg gjort dette riktig?

[FredrikM]

Du er egentlig litt på villspor.

Legg merke til at [tex]\int_{-1}^1 \frac{1}{1-x} dx \leq \int_{-1}^1 \frac{e^x}{1-x} dx [/tex] for alle x.

[tex]\int_{-1}^1 \frac{1}{1-x} dx = \lim_{x \to 1} \left[\ln |1-x|\right]_{-1}^1=-\infty[/tex]

Siden [tex]e^x[/tex] oppfører seg "normalt" nær x=1 (altså ingen singulariter eller enorme verdier), må også [tex]\int_{-1}^1 \frac{e^x}{1-x} dx[/tex] divergere.

[krje1980]

Takk for hjelpen!

Men er det egentlig "feil" det jeg gjør? Jeg har jo tross alt et uttrykk som er mindre enn det opprinnelige uttrykket, og får at integralet divergerer (noe det også skal i følge fasiten).

Synes av og til det kan være vanskelig å vite hvilken verdi man skal sette i slike oppgaver som baserer seg på at man velger en integralverdi som skal være større eller mindre enn det opprinnelige integralet.

Ser forresten også at du har omskrevet oppgaven min. Det skal være [symbol:integral] e^x / (1 + x) dx og ikke [symbol:integral] e^x / (1 - x) dx. Altså pluss og ikke minus.

[FredrikM]

Uffda - liten fortegnsfeil (men resultatet er det samme om man retter opp).

Men er det egentlig "feil" det jeg gjør? Jeg har jo tross alt et uttrykk som er mindre enn det opprinnelige uttrykket, og får at integralet divergerer (noe det også skal i følge fasiten).

Ved nærmere ettersyn er du inne på noe, men du gjør ting litt tungvint sammen med dårlig notasjon. Eksempel er påstanden "Uttrykket ln(0) vil da nærme seg - ∞", etc. Ting blir mye mer presist om man bruker [tex]\lim[/tex], etc, for å forklare hva man gjør.

[drgz]

Legg merke til at [tex]\int_{-1}^1 \frac{1}{1-x} dx \leq \int_{-1}^1 \frac{e^x}{1-x} dx [/tex] for alle x.

Kan du utdype den?

Setter du inn f.eks [tex]x = -0.5[/tex] vil det første integralet være større enn det andre.

[FredrikM]

*hrmpf*

Får bare henvise til signaturen min:

"Med forbehold om tullete feil."

For trøtt til å finne ut hvordan jeg klarte å tenke dumt.

[krje1980]

Uffda - liten fortegnsfeil (men resultatet er det samme om man retter opp).

Men er det egentlig "feil" det jeg gjør? Jeg har jo tross alt et uttrykk som er mindre enn det opprinnelige uttrykket, og får at integralet divergerer (noe det også skal i følge fasiten).

Ved nærmere ettersyn er du inne på noe, men du gjør ting litt tungvint sammen med dårlig notasjon. Eksempel er påstanden "Uttrykket ln(0) vil da nærme seg - ∞", etc. Ting blir mye mer presist om man bruker [tex]\lim[/tex], etc, for å forklare hva man gjør.

Hei. Ja, jeg vet selvsagt at lim-notasjonen skal brukes, og ville selvsagt brukt denne på en eksamen f.eks. Jeg setter dog stor pris på innspilet ditt

[FredrikM]

I fare for å dumme meg ut nok en gang prøver jeg å poste en løsning med litt fornuft i.

- - -

Ihvertfall. Funksjonen [tex]g(x)=e^x[/tex] er kontinuerlig på intervallet, og har derfor et minimum der, f.eks M. Vi har derfor at [tex]\frac{M}{1-x} \leq \frac{e^x}{1-x}[/tex] for [tex]x \in [-1,1][/tex]. Så bruker vi samme metode som i min forrige post. Dette burde funke.

[krje1980]

Fredrik:

Husk at oppgaven skal være e^x / (1 + x) - altså pluss og ikke minus mellom utrrykkene i nevneren

[drgz]

Fredrik:

Husk at oppgaven skal være e^x / (1 + x) - altså pluss og ikke minus mellom utrrykkene i nevneren

det spiller veldig liten rolle om det er pluss eller minus, svaret blir det samme uansett i det gitte intervallet (muligens med motsatt fortegn).