Problemløsning, kurve og optimering.

[Nebuchadnezzar]

Postet denne originalt som en nøtt men, ble nysjerrig å ville ha svaret på oppgaven. Det viste seg å være mer problematisk enn antatt.

Tre personer skal til en hytte. Hytten ligger på motsatt side av et vann. Vannet er formet som en sirkel med radius 5km
De kan enten gå eller ta båt, båten rommer maks 2 personer.
Personene kan maksimalt være to i båten. Båten kjører med farten 10m/s
Farten til den gående er 4m/s
Hva er den korteste tiden det tar for alle og komme til hytten ?

Antar at det er raskest at to kjører båt over. forså å komme tilbake og hente sistemann. Sistemann begynner å gå samtidig som båten kjører.
Så må båten sikte en hviss strekning over personen slik at de akkurat møtes. Hverken båt eller person trenger å vente.

Her er løsningsforslaget så langt, men stoppe opp når det kom til hvor langt personen var kommet.


[tex] radius = 5km[/tex]
[tex] Diameter = 10km [/tex]
[tex] t = \frac{s}{v}[/tex]
[tex] t = \frac{{10000}}{{10}}[/tex]
[tex] t = 1000 [/tex]

De ror altså over på 1000 sekunder.

[tex] O = 2\pi r [/tex]
[tex] O/2 = \pi r [/tex]
[tex] O/2 = \pi 5000[/tex]
[tex] O/2 = {\rm{15708}} [/tex]

Veien rundt er 15708km

[tex] {\rm{Personen g{\aa}r 4m/s}}[/tex]
[tex] s = v \cdot t [/tex]
[tex] s = 4 \cdot 1000 [/tex]
[tex] s = 4km [/tex]

Som betyr at personen har gått 4km, men jeg aner ikke hvor denne personen befinner seg,(på sirkelen) eller hvordan jeg finner ut det optimale krysspunktet.

Noen snille sjeler som kunne hjelpe meg? Vurderte og lage en parametfremstilling for personen som gikk, og en for båten, også derivere avstanden mellom de og så finne ut tiden. Men der stod jeg fast.

[ettam]

Vurderte og laget en parametfremstilling for personen som gikk, og en for båten, også derivere avstanden mellom de og så finne ut tiden. Men der stod jeg fast.

Det var det jeg også tenkte å prøve på for å løse oppgaven. Kan du vise hva du gjorde/hvor langt du kom?

[Nebuchadnezzar]

Altså jeg snudde ting til siden og tok en strek igjennom.
Slik at vi får en halvsirkel som begynner i 0 og slutter der hytten er.
A(0,0) til B(10000,0)

Da får vi at høyden er lik 0 etter 0 og etter 10km.
Videre vet vi at toppen er etter 5km.
Vi vet også at visst vi putten in t = 1000 inn i x likningen så får vi ut
\pi * 5000

Buelengden er altså [tex]\pi \; \cdot \; 5000 \; \approx \; 15708[/tex]
Når vi vet at den deriverte av y skal gi løsningen 5000 og at løsningene til y er 0 og 10000 burde det ikke være så vanskelig å sette opp en paramterfremstilling.

Utgangsfarten er jo selvfølgelig 4m/s.

Til båten er det litt værre. Vi vet at farten er konstant.
Dermed er farten gitt på formen y = ax + b
Blir vell noet alla
[tex]x = -10t + 1000[/tex]
[tex]y = cos a [/tex]
Der a er vinkelen

Sitter fast på finne et uttryk som gir høyden til personen som går.
"altså om du ser ting fra siden". Utgangsvinkelen vil jo være 90 grader.

Personen som går
[tex]y = ???[/tex]
[tex]x = 4 \pi t[/tex]