Her er en oppgave fra abelfinalen 1992.
Finn alle positive heltall [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] og [tex]z[/tex] slik at [tex]xyz=3(x+y+z)[/tex]
Løsningen er her: http://abelkonkurransen.no/problems/abe ... sol_no.pdf
Jeg ser hvordan de tenker i den andre linja i svaret [tex]\left(9x\geq ...\right)[/tex] men ser ikke de følgende implikasjonene som vises i fasiten, og ser ikke hvor uttrykket av z i x og y kommer fra. Noen som kan forklare sammenhengen?
Tallteori
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La 3(x+y+z)=xyz og ordner slik at [tex]x\leq y\leq z[/tex]
Da er
[tex]3(x+y+z)\leq 3(z+z+z)=9z[/tex],
[tex]3(x+y+z)\geq 3(x+x+x)=9x[/tex]
Så hvis man bruker likheten blir
[tex]9x \leq xyz\leq 9z[/tex]
Deler på x i den første ulikheten og deler på z i den andre gir
[tex]9\leq yz \\ 9\geq xy[/tex]
så [tex]xy\leq9\leq yz[/tex]
Bruker at [tex]x^2\leq xy[/tex] og [tex]yz\leq z^2[/tex];
[tex]x^2\leq xy \leq 9 \leq yz \leq z^2[/tex]
Tar røttene og får den ulikheten som i fasiten.
Resten er bare prøving og feiling med ulike x og y verdier
Da er
[tex]3(x+y+z)\leq 3(z+z+z)=9z[/tex],
[tex]3(x+y+z)\geq 3(x+x+x)=9x[/tex]
Så hvis man bruker likheten blir
[tex]9x \leq xyz\leq 9z[/tex]
Deler på x i den første ulikheten og deler på z i den andre gir
[tex]9\leq yz \\ 9\geq xy[/tex]
så [tex]xy\leq9\leq yz[/tex]
Bruker at [tex]x^2\leq xy[/tex] og [tex]yz\leq z^2[/tex];
[tex]x^2\leq xy \leq 9 \leq yz \leq z^2[/tex]
Tar røttene og får den ulikheten som i fasiten.
Resten er bare prøving og feiling med ulike x og y verdier
Ok, nå forstår jeg. Takk for hjelpen. 