Noen spørsmål om deriverbarhet

[yngevege]

1. Hvorfor er [tex]G(x) = \int_0^x \frac{sin \,t}{t}\,dt[/tex] deriverbar for alle [tex]x\,\in\,\mathbb{R}[/tex], når [tex]g(x) = \frac{sin \, x}{x}[/tex] er definert for alle [tex]x\,\in\,\mathbb{R}[/tex] (jeg har akkurat vist at det er slik)?

2. Hvordan kan man derivere G(x) ?

[Gustav]

La [tex]h^,(t)=\frac{\sin t}{t}[/tex].

Da er [tex]G(x)=h(x)-h(0)[/tex] slik at [tex]G^,(x)=h^,(x)=\frac{\sin x}{x}[/tex]


g(x) er definert på R\{0} og grensen i 0 eksisterer, så dermed er G deriverbar på R.

[yngevege]

Kan du bruke en litt mindre teskje? :?

[Gustav]

Har litt knapt med tid akkurat nå, men det følger av fundamentalteoremet for kalkulus:

[tex]F(x)-F(a)=\int_a^x F^,(t)\,dt[/tex]


Det vi ønsker å finne er jo [tex]F^,(x)[/tex], som jo er integranden, og den vet vi jo i dette tilfellet.