Partial Fractions

[fresol]

Hei, er den noen som har noen gode sider som omhandler Partial Fractions?
Jeg sliter litt med med selve ekspansionen.

eks:
$\frac{1}{x^3-4x^2+3x}$

Her faktoriserer jeg ut x.

$\frac{1}{x\ast (x^2-4x+3)}$

Så tar jeg $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x-3}$

Det jeg ikke skjønner er hvorfor jeg setter Bx+C over den siste brøken og ikke bare b, noen som har en god forklaring på det?

Edit: glemte å skrive resten av oppgaven:P
Viderer har jeg at

$\frac{A(x^2-4x+3)+B{x}^2+Cx}{x(x^2-4x+3)}$


A+B =0 (x^2 koeffisienter)
-4A+C=0 (x koeffisienter)
3A=1 (konstanten)

=> A=-B =$\frac{1}{3}$ og C = $\frac{4}{3}$
Så setter jeg bare verdien jeg fant inn i dette utrykket:
$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x-3}$
Er dette riktig?

e

[yngevege]

Uttrykket skal være kun en grad lavere i teller, derfor får du et førstegradsuttrykk i teller når du har et annengradsuttrykk i nevner.

(Akkurat hvorfor kan nok ikke jeg svare eksakt på, men det er nå engang slik matematikken er..)

[fresol]

Skjønner, tror jeg. Så hvis det hadde vært feks (x^3-1) i nevneren, hadde jeg da ent opp med Ax^2+Bx+C i telleren?

[Gustav]

Skjønner, tror jeg. Så hvis det hadde vært feks (x^3-1) i nevneren, hadde jeg da ent opp med Ax^2+Bx+C i telleren?

Altså, noe av poenget her er at du bare antar at du kan skrive det om på en slik form. Det er naturlig at telleren er et polynom, og hver av koeffisientene (f.eks. B) utgjør egentlig bare en ekstra frihetsgrad, så du kunne jo godt antatt at telleren er et høyere grads polynom. Hvis du ser litt på uttrykket vil det være helt sprøtt om graden i telleren skulle være større enn i nevneren, så det er naturlig å anta at graden er 1 mindre. Det er egentlig ikke noe mystisk ved det.

[fresol]

takk,har lest litt opp å ned på det nå. Er ikke så mystisk nei. Ser også at faktoriseringen jeg har gjort lenger opp ikke er bra nok

skulle vært

$\frac{1}{x\ast (x-1)\ast (x-3)}$