La oss kalle de forskjellige delene av kurven vi skal integrere rundt for [tex]\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3[/tex]. Vi parametriserer de forskjellige kurvene:Show that
[tex]I=\int_0^\infty \frac{dx}{x^3+1} =\frac{2\pi \sqrt{3}}{9}[/tex]
by integrating [tex]\frac{1}{z^3+1}[/tex] around the boundary of the circular sector [tex]S_p=\left{ z=re^{i\theta} : 0 \leq \theta \leq 2\pi/3, 0 \leq r \leq p \right }[/tex] and letting [tex]p \to \infty[/tex]
[tex]\gamma_1 : r(t)=t, t\in[0,p][/tex]
[tex]\gamma_2 : r(t)=e^{i\frac{2\pi}{3}}t, t\in [0,p][/tex]
Buekurven er jeg temmelig sikker på at går mot null går vi lar [tex]p \to \infty[/tex] (funksjonen blir bare mindre og mindre jo lenger vekk fra origo vi beveger oss - antakelsen virker naturlig). Så den er ikke vits i å parametrisere.
Vi lar [tex]\Gamma = \gamma_1+\gamma_2+\gamma_3[/tex] betegne hele den lukkede kurven. Fra residueteoremet har vi at
[tex]\int_\Gamma f = 2\pi i Res(e^{\frac{i\pi}{3}})[/tex]
Regner ut residuen:
[tex]Res(e^{\frac{i\pi}{3}})=\frac{1}{(e^{i\pi/3}-e^{i/\pi})(e^{i\pi/3}-e^{i5\pi/3})}=\frac 23 \frac{1}{-1+\sqrt 3 i}[/tex]
Videre, la oss se på [tex]\int_\gamma_2[/tex]. Vi ser at denne er lik [tex](-\frac 12 + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\int_0^p \frac{1}{1+t^3} dt[/tex]
Dermed er [tex]\int_\Gamma=\int_\gamma_1+\int_\gamma_2=(\frac 12 +\frac{\sqrt{3}}{2})\int_\gamma_1[/tex]
(litt slurvete notasjon, men det bør vi overleve)
Dermed er [tex]I=2\pi i Res(e^{\frac{i\pi}{3}})\frac{1}{\frac 12 +\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Men etter å ha regnet ut dette, får jeg et imaginært tall. Hint, hjelp, etc?
