Vise at funksjon er begrenset.

[Betelgeuse]

Har en oppgave her av den teoretiske sorten som sier at vi har to reelle tall
[tex] a < b, f : (a, b) \to \mathbb{R}[/tex] og at f er en deriverbar funksjon. Vis at dersom den deriverte f' er begrenset, så er f det også.

Intuitivt gir dette mening, siden det at den deriverte er begrenset impliserer jo at stigningstallet aldri går mot uendelig på det åpne intervallet (a,b) og dermed må funksjonen også være begrenset.. spørsmålet er hvordan jeg skal vise dette.

Jeg tenker at siden f' er begrenset så eksisterer det en K s.a

[tex]|f^\prime(x)|\leq K\ \ \forall x \in (a,b)[/tex]

Siden f er deriverbar så vet vi jo også at f er kontinuerlig, men siden f ikke er definert på et lukket, begrenset intervall så kan jeg ikke bruke ekstremalverdisetningen direkte på f. Men det at f er deriverbar gjør at jeg kan bruke middelverdisetningen og har at

[tex]f(x)-f(y) = f^\prime(c)(x-y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]

Men vi har jo at [tex]|f^\prime(x)|\leq K[/tex] så
[tex]|f(x)-f(y)| \leq K(x-y) \Leftrightarrow f(y) -K(x-y) \leq f(x) \leq K(x-y) + f(y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]

Her trodde jeg at jeg hadde klart å vise det, men med litt omtanke så varierer jo x og faktoren og [tex](x-y) \to \infty[/tex] når [tex]x \to \infty[/tex] så den funket ikke... Noen som har noen kommentarer og forslag til hvordan dette kan vises?

[Karl_Erik]

Husk at dette er snakk om et intervall. Du vet altså at [tex]x[/tex] ikke kan gå mot uendelig, og [tex]x-y[/tex] må nødvendigvis være mindre enn [tex]a-b[/tex], så du er nesten i mål.

[Betelgeuse]

Åja, selvfølgelig. Men er jeg ikke egentlig i mål da? Som du sier er jo (b-a) > (x-y), så helt til slutt kan vi si konkludere med at

[tex]f(y) -K(b-a) < f(x) < K(b-a) + f(y)[/tex]

og dermed er f begrenset på (a,b).


Et annet spørsmål også.. Når en kont funksjon ikke er definert på et lukket intervall (a,b) så kan ikke funksjonen ha noen ekstremalverdier fordi vi kan komme så nær a eller b vi bare vil. Men en slik funksjon er fortsatt begrenset, right? For det er lett å finne en K slik at [tex]|f(x)| < K[/tex] for alle x i definisjonsmengden... Spesielt så kan man vel også finne supremum til alle funksjonsverdiene?

[Gustav]

Et annet spørsmål også.. Når en kont funksjon ikke er definert på et lukket intervall (a,b) så kan ikke funksjonen ha noen ekstremalverdier fordi vi kan komme så nær a eller b vi bare vil. Men en slik funksjon er fortsatt begrenset, right? For det er lett å finne en K slik at [tex]|f(x)| < K[/tex] for alle x i definisjonsmengden... Spesielt så kan man vel også finne supremum til alle funksjonsverdiene?

Litt usikker på hva du mener her... Mener du en kontinuerlig funksjon definert på et åpent intervall? I så fall kan den godt være ubegrenset.

[Betelgeuse]

Det var det jeg mente ja. Hehe, nei. Kan ikke ha filosofert lenge over den i og med at det er lett å koke opp moteksempler som foreksempel 1/x.