Vise at funksjon er begrenset.

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Har en oppgave her av den teoretiske sorten som sier at vi har to reelle tall
[tex] a < b, f : (a, b) \to \mathbb{R}[/tex] og at f er en deriverbar funksjon. Vis at dersom den deriverte f' er begrenset, så er f det også.

Intuitivt gir dette mening, siden det at den deriverte er begrenset impliserer jo at stigningstallet aldri går mot uendelig på det åpne intervallet (a,b) og dermed må funksjonen også være begrenset.. spørsmålet er hvordan jeg skal vise dette.

Jeg tenker at siden f' er begrenset så eksisterer det en K s.a

[tex]|f^\prime(x)|\leq K\ \ \forall x \in (a,b)[/tex]

Siden f er deriverbar så vet vi jo også at f er kontinuerlig, men siden f ikke er definert på et lukket, begrenset intervall så kan jeg ikke bruke ekstremalverdisetningen direkte på f. Men det at f er deriverbar gjør at jeg kan bruke middelverdisetningen og har at

[tex]f(x)-f(y) = f^\prime(c)(x-y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]

Men vi har jo at [tex]|f^\prime(x)|\leq K[/tex] så
[tex]|f(x)-f(y)| \leq K(x-y) \Leftrightarrow f(y) -K(x-y) \leq f(x) \leq K(x-y) + f(y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]

Her trodde jeg at jeg hadde klart å vise det, men med litt omtanke så varierer jo x og faktoren og [tex](x-y) \to \infty[/tex] når [tex]x \to \infty[/tex] så den funket ikke... Noen som har noen kommentarer og forslag til hvordan dette kan vises?
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Husk at dette er snakk om et intervall. Du vet altså at [tex]x[/tex] ikke kan gå mot uendelig, og [tex]x-y[/tex] må nødvendigvis være mindre enn [tex]a-b[/tex], så du er nesten i mål.
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Åja, selvfølgelig. Men er jeg ikke egentlig i mål da? Som du sier er jo (b-a) > (x-y), så helt til slutt kan vi si konkludere med at

[tex]f(y) -K(b-a) < f(x) < K(b-a) + f(y)[/tex]

og dermed er f begrenset på (a,b).


Et annet spørsmål også.. Når en kont funksjon ikke er definert på et lukket intervall (a,b) så kan ikke funksjonen ha noen ekstremalverdier fordi vi kan komme så nær a eller b vi bare vil. Men en slik funksjon er fortsatt begrenset, right? For det er lett å finne en K slik at [tex]|f(x)| < K[/tex] for alle x i definisjonsmengden... Spesielt så kan man vel også finne supremum til alle funksjonsverdiene?
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Betelgeuse wrote:
Et annet spørsmål også.. Når en kont funksjon ikke er definert på et lukket intervall (a,b) så kan ikke funksjonen ha noen ekstremalverdier fordi vi kan komme så nær a eller b vi bare vil. Men en slik funksjon er fortsatt begrenset, right? For det er lett å finne en K slik at [tex]|f(x)| < K[/tex] for alle x i definisjonsmengden... Spesielt så kan man vel også finne supremum til alle funksjonsverdiene?
Litt usikker på hva du mener her... Mener du en kontinuerlig funksjon definert på et åpent intervall? I så fall kan den godt være ubegrenset.
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Det var det jeg mente ja. Hehe, nei. Kan ikke ha filosofert lenge over den i og med at det er lett å koke opp moteksempler som foreksempel 1/x.
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Post Reply